Bài tập vận dụng chuyên đề vecto.

Câu 1 : Cho hình bình hành ABCD tâm O. Phát biểu nào sau đây là sai

A \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow 0 \)

B \(\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {AB} \)

C \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} \)

D \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {CB} \)

Câu 2 : Cho tam giác ABC. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Điểm M thỏa mãn: \(2\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \) . M trùng với :

A Điểm I

B Trung điểm của AJ.

C Trung điểm của KJ.

D Tâm hình bình hành BKIJ.

Câu 3 : Cho tam giác ABC có trung tuyến AD. M là trung điểm của AD. BM cắt AC tại N. Tỉ số \(\frac{{\overrightarrow {NM} }}{{\overrightarrow {NB} }}\) là:

A \(\frac{1}{3}.\)

B \(\frac{1}{4}.\)

C \(\frac{1}{5}.\)

D \(\frac{2}{3}.\)

Câu 4 : Cho tam giác ABC có trung tuyến AD. G là trọng tâm của tam giác ABC. M tùy ý. Phát biểu nào sau đây sai:

A \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)

B \(\frac{{\overrightarrow {DA} }}{{\overrightarrow {DG} }} = 2.\)

C \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = 2\overrightarrow {GD} \)

D \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \)

Câu 5 : Cho tam giác ABC. Phân giác trong AD. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A \(\frac{{\overrightarrow {DB} }}{{\overrightarrow {DC} }} = - \frac{{\overrightarrow {AB} }}{{\overrightarrow {AC} }}\)

B \(\frac{{\overrightarrow {DB} }}{{\overrightarrow {DC} }} = - \frac{{AB}}{{AC}}\)

C \(\frac{{\overrightarrow {DB} }}{{\overrightarrow {DC} }} = \frac{{AB}}{{AC}}\)

D \(\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {BC} \)

Câu 6 : Cho hình bình hành ABCD. Phát biểu nào sau đây là sai:

A \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \)

B \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \)

C \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} .\)

D \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} \)

Câu 7 : ABCD là hình chữ nhật tâm O. Phát biểu nào sau đây là sai:

A \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AO} \)

B \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = 0\)

C \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BD} .\)

D \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \)

Câu 8 : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Tính giá trị của biểu thức \(P = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right).\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)\) .

A 0

B 8

C 16

D \(4\sqrt 2 .\)

Câu 9 : Cho tam giác ABC đều, AB = 2 ; tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) . Tính giá trị của \(P = \overrightarrow {OA} .\left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\) .

A 1

B \( - \frac{4}{3}.\)

C \(\frac{3}{4}.\)

D \(\frac{2}{3}.\)

Câu 10 : Cho A, B cố định. Qũy tích điểm M thỏa mãn: \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right|\) là:

A Đường thẳng AB.

B Đường thẳng song song với AB.

C Trung trực của AB

D Là 1 đường tròn.

Câu 11 : Cho tam giác ABC. Có M, N thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {NC} = - 2\overrightarrow {NA} .\) E, F là trung điểm của MN, BC. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \) .

Câu 12 : Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác ABC vẽ các hình bình hành ABMN, BCEF, CAHK. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {FM} + \overrightarrow {NH} + \overrightarrow {KE} = \overrightarrow 0 \)

Câu 13 : Cho tam giác ABC có 3 trung tuyến AD, BM, CN. Chứng minh rằng:\(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BM} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CN} .\overrightarrow {AB} = 0\) .

Câu 14 : Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O. M là điểm tùy ý. Chứng minh rằng.a) \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD} \)b) \(M{A^2} + M{C^2} = M{B^2} + M{D^2}\)

Câu 15 : (Học sinh tự chứng minh). Tứ giác ABCD có I, J là trung điểm của AC, BD. Chứng minh \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = 2\overrightarrow {IJ} \)

Câu 16 : Cho tam giác ABC. 3 điểm M, N, P thỏa mãn: \(\overrightarrow {MB} = 3\overrightarrow {MC} ;\,\,\overrightarrow {NA} = - 3\overrightarrow {NC} ;\,\,\overrightarrow {PA} + \overrightarrow {PB} = \overrightarrow 0 .\) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng.

Câu 17 : Cho tam giác ABC. Có I, J thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {IB} ;\,\,3\overrightarrow {JA} + 2\overrightarrow {JC} = \overrightarrow 0 \) .a) Tinh \(\overrightarrow {IJ} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} \) .b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh G, I, J thẳng hàng.

Câu 18 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O). H, G là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC.a) D đối xứng với A qua O. Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành.b) Chứng minh 3 điểm O, H, G thẳng hàng.

Câu 19 : (Học sinh tự giải). Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. O là trung điểm của AM. Hai điểm I, J thỏa mãn \(\overrightarrow {AI} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} ;\,\overrightarrow {AJ} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} \) . Chứng minh rằng 3 điểm I, J, O thẳng hàng.

Câu 20 : Cho tam giác \(ABC\) có \(\angle CAB = \alpha .\) Vẽ hai hình vuông \(ABED\) và \(ACMN\) nằm trên cùng miền chứa \(\Delta ABC.\) Chứng minh: \(CD \bot BN.\)

Câu 21 : Hình thang \(ABCD\) vuông ở \(A\) và \(B,\;\;AD = 2BC.\) Vẽ \(AH \bot BD,\;\;M\) là trung điểm của \(DH.\) Chứng minh \(AM \bot MC.\)

Câu 22 : Cho hình vuông \(ABCD\) tâm \(O,\;M \in AD\) sao cho \(MD = 2MA.\) Vẽ \(MN//BD,\;N \in AB.\) Chứng minh \(OM \bot DN.\)

Câu 23 : Cho hình thang \(ABCD\) vuông ở \(A,\;B,\;\;AB = 3a,\;BC = 2a,\;AD = a.\) Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD.\) Chứng minh \(\angle AIB = {90^0}.\)

Câu 24 : Cho \(\left( {O;\;R} \right)\) ngoại tiếp \(\Delta ABC.\) Điểm \(H\) thỏa mãn \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} .\) Chứng minh \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC.\)

Câu 25 : Cho \(\Delta ABC.\) Tìm tập hợp điểm \(M:\;\;2\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|.\)

Câu 26 : Cho \(\Delta ABC.\) Tìm tập hợp điểm \(M:\;\;\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - 2\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|.\)

Câu 27 : Cho \(\Delta ABC.\) Tìm tập hợp điểm \(M:\;\;\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = k\overrightarrow {BC} \;\;\;\;\left( * \right).\)

Câu 28 : Cho \(\Delta ABC.\) Tìm tập hợp điểm \(M:\;\;\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB} = A{M^2}.\)

Câu 29 : (Học sinh tự giải) Cho \(\Delta ABC.\) Tìm tập hợp điểm \(M:\;\;\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} = M{A^2}.\)