Cho hình vuông \(ABCD\) tâm \(O,\;M \in AD\) sao c...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Đặt \(AB = a.\) Ta có: \(AM = AN = \frac{a}{3},\;\;AO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)

\( \Rightarrow \angle OAD = \angle OAN = {45^0}.\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {DN}  = \left( {\overrightarrow {AM}  - \overrightarrow {AO} } \right)\left( {\overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AD} } \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AO} .\overrightarrow {AN}  + \overrightarrow {AO} .\overrightarrow {AD} \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; =  - \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AO} .\overrightarrow {AN}  + \overrightarrow {AO} .\overrightarrow {AD} \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; =  - \frac{a}{3}.a.\cos {0^0} - \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{a}{3}.\cos {45^0} + \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.a.\cos {45^0}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; =  - \frac{{{a^2}}}{3} - \frac{{{a^2}}}{6} + \frac{{{a^2}}}{2} = 0\\ \Rightarrow OM \bot DN\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\)