Cho tam giác ABC có 3 trung tuyến AD, BM, CN. Chứn...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

+) Đặt \(BC = a,\,\,AC = b,AB = c\)

+) \(\begin{array}{l}\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {A{C^2} - A{B^2}} \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {{b^2} - {c^2}} \right)\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

+) Tương tự ta có: \(\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {CA}  = \frac{1}{2}\left( {{c^2} - {a^2}} \right)\,\,\left( 2 \right);\,\,\overrightarrow {CN} .\overrightarrow {AB}  = \frac{1}{2}\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\,\,\left( 3 \right)\)

+) Suy ra ta có: (1) + (2) + (3) ta có điều phải chứng minh: \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BM} .\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CN} .\overrightarrow {AB}  = 0\)