Cho \(\left( {O;\;R} \right)\) ngoại tiếp \(\Delta...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Kẻ đường kính \(AD \Rightarrow \angle ABD = \angle ACD = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Hay \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AC\\DB \bot AB\end{array} \right..\)

Gọi \(J\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC}  = 2\overrightarrow {HJ} .\)

Theo đề bài ta có: \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OH} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {OH}  + \overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {OH}  + \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {OH}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OH} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC}  = 2\overrightarrow {HO} \;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)\end{array}\)

Lại có: \(\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HD}  = 2\overrightarrow {HO} .\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC}  = \overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HD} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC}  = \overrightarrow {HD} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {HJ}  = \overrightarrow {HD.} \end{array}\)

\( \Rightarrow J\) là trung điểm của \(HD.\)

Xét tứ giác \(BHCD\) ta có: \(J\) là trung điểm của hai đường chéo \(HD\) và \(BC.\)

\( \Rightarrow BHCD\) là hình bình hành.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BH//CD\\CH//BD\end{array} \right..\)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AC\\DB \bot AB\end{array} \right.\;\;\left( {cmt} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BH \bot AC\\CH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow H\) là trực tâm tam giác \(ABC.\)