Hình thang \(ABCD\) vuông ở \(A\) và \(B,\;\;AD =...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Lấy điểm \(E\) đối xứng với \(A\) qua \(M \Rightarrow AHED\) là hình bình hành (tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).

\( \Rightarrow \overrightarrow {HE}  = \overrightarrow {AD} .\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CM}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AE} .\left( {\overrightarrow {BM}  - \overrightarrow {BC} } \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {2\overrightarrow {BM}  - 2\overrightarrow {BC} } \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {2\overrightarrow {BM}  - \overrightarrow {AD} } \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AH} .2\overrightarrow {BM}  - \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AD} .2\overrightarrow {BM}  - {{\overrightarrow {AD} }^2}} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{4}\left( {0 - \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AD}  + 2\overrightarrow {AD} .\left( {\overrightarrow {AM}  - \overrightarrow {AB} } \right) - A{D^2}} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{4}\left( { - A{D^2} - \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AD}  + 2\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AM}  - 2\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} } \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{4}\left( { - A{D^2} - \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AE}  + 0} \right)\;\;\;\left( {do\;\;\overrightarrow {AE}  = 2\overrightarrow {AM} } \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{4}\left[ { - A{D^2} - \overrightarrow {AD} \left( {\overrightarrow {AH}  - \overrightarrow {AE} } \right)} \right]\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{4}\left( { - A{D^2} - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {EH} } \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{4}\left( { - A{D^2} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {HE} } \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{4}\left( { - A{D^2} + A{D^2}} \right) = 0.\\ \Rightarrow AM \bot CM\;\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\)