Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O. M là điểm tùy ý....

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a)

+)  \(\begin{array}{l}\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  = \left( {\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OM} } \right).\left( {\overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OM} } \right)\\ = \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OC}  - \left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC} } \right)\overrightarrow {OM}  + O{M^2}\\ =  - OA.OC + O{M^2}\\ = O{M^2} - O{A^2}\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

+) Chứng minh tương tự: \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD}  = O{M^2} - O{B^2}\,\,\,\left( 2 \right)\)

+) Từ (1) và (2) ta có: \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD} \)  (điều phải chứng minh)

b)

+) Ta có: \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD} \) ( Vì cùng bằng \(2\overrightarrow {MO} \) )

+) Bình phương 2 vế ta có:

\(\begin{array}{l}M{A^2} + M{C^2} + 2\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  = M{B^2} + M{D^2} + 2\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD} \\ \Rightarrow M{A^2} + M{C^2} = M{B^2} + M{D^2}\end{array}\)

Ta có điều phải chứng minh.