Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 5 - Bài 8 - Chương 1 - Đại số 9

Đề bài

Bài 1. Rút gọn :  \(A = {{x\sqrt x  - 1} \over {x - \sqrt x }} - {{x\sqrt x  + 1} \over {x + \sqrt x }} + {{x + 1} \over {\sqrt x }}\)\(\,\,\left( {x > 0;\,x \ne 1} \right)\)

Bài 2. Chứng minh : \({{x + 2} \over {x\sqrt x  + 1}} + {{\sqrt x  - 1} \over {x - \sqrt x  + 1}} - {{\sqrt x  - 1} \over {x - 1}} < 1\,\,\left( * \right)\)\(\,\left( {x \ge 0;\,x \ge 1} \right)\)

Hướng dẫn giải

Bài 1. Ta có:

\(\eqalign{  & A = {{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)} \over {\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - {{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)} \over {\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}} + {{x + 1} \over {\sqrt x }}  \cr  &  = {{x + \sqrt x  + 1 - x + \sqrt x  - 1 + x + 1} \over {\sqrt x }}  \cr  &  = {{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}} \over {\sqrt x }} \cr} \)

Bài 2. Ta có:

\(\eqalign{  & \left( * \right) \Leftrightarrow {{x + 2} \over {\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)}} + {{\sqrt x  - 1} \over {x - \sqrt x  + 1}} - {{\sqrt x  - 1} \over {\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} < 1  \cr  &  \Leftrightarrow {{x + 2 + x - 1 - \left( {x - \sqrt x  + 1} \right)} \over {\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)}} < 1  \cr  &  \Leftrightarrow {{x + \sqrt x } \over {\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)}} < 1  \cr  &  \Leftrightarrow {{\sqrt x } \over {x - \sqrt x  + 1}} < 1  \cr  &  \Leftrightarrow \sqrt x  < x - \sqrt x  + 1 \cr} \)

\((x\sqrt x  + 1 = \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right) > 0\), với mọi \(x ≥ 0\) và \(x ≠ 1\)

\( \Rightarrow x\sqrt x  + 1 > 0\) và \(\sqrt x  + 1 > 0 \Rightarrow x - \sqrt x  + 1 > 0)\)

Vậy \(\left( * \right) \Leftrightarrow \sqrt x  < x - \sqrt x  + 1\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} > 0\) (luôn đúng với \(x ≥ 0\) và \(x ≠ 1\)).