Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 4 - Bài 8 - Chương 1 - Đại số 9

Đề bài

Bài 1. Rút gọn : \(A = \left( {{{1 - a\sqrt a } \over {1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right).{\left( {{{1 - \sqrt a } \over {1 - a}}} \right)^2}\)\(\,\,\,\left( {a \ge 0;\,a \ne 1} \right)\)  

Bài 2. Chứng minh rằng : \(x = {{\left( {5\sqrt 3  + \sqrt {50} } \right)\left( {5 - \sqrt {24} } \right)} \over {\sqrt {75}  - 5\sqrt 2 }}\) có giá trị là số nguyên.

Bài 3. Tìm x, biết : \(\left( {\sqrt x  + {1 \over {\sqrt x  + 1}}} \right).\left( {1 - {{\sqrt x  + 2} \over {x + \sqrt x  + 1}}} \right) > 0\,\left( * \right)\)

Hướng dẫn giải

Bài 1. Ta có:

\(\eqalign{  & A = \left( {{{{1^3} - {{\left( {\sqrt a } \right)}^3}} \over {1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right).{\left( {{{1 - \sqrt a } \over {1 - a}}} \right)^2}  \cr  &  = \left( {{{\left( {1 - \sqrt a } \right)\left( {1 + \sqrt a  + a} \right)} \over {1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right).{\left( {{{1 - \sqrt a } \over {1 - a}}} \right)^2}  \cr  &  = \left( {1 + 2\sqrt a  + a} \right).{{{{\left( {1 - \sqrt a } \right)}^2}} \over {{{\left( {1 - \sqrt a } \right)}^2}{{\left( {1 + \sqrt a } \right)}^2}}} = 1 \cr} \)

Bài 2. Ta có: \({{5\sqrt 3  + \sqrt {50} } \over {\sqrt {75}  - 5\sqrt 2 }} = {{\sqrt {75}  + \sqrt {50} } \over {\sqrt {75}  - \sqrt {50} }} = {{125 + 50\sqrt 6 } \over {25}} = 5 + 2\sqrt 6 \)

Vậy \(x = \left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)\left( {5 - \sqrt {24} } \right) \)\(\,= \left( {5 + \sqrt {24} } \right)\left( {5 - \sqrt {24} } \right) \)\(\,= 25 - 24 = 1\)

Vậy \(x = 1\) là số nguyên.

Bài 3. Điều kiện: \(x ≥ 0\).

Ta có:

\(\eqalign{  & \left( * \right) \Leftrightarrow {{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right) + 1} \over {\sqrt x  + 1}}.{{x + \sqrt x  + 1 - \sqrt x  - 2} \over {x + \sqrt x  + 1}} > 0  \cr  &  \Leftrightarrow {{x + \sqrt x  + 1} \over {\sqrt x  + 1}}.{{x - 1} \over {x + \sqrt x  + 1}} > 0  \cr  &  \Leftrightarrow \sqrt x  - 1 > 0  \cr  &  \Leftrightarrow \sqrt x  > 1 \cr} \)

\(\;\;⇔ x > 1\) (thỏa mãn điều kiện \(x ≥ 0\))

Vậy \(x > 1\).