Toán 9 rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Toán 9 rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Cunghocvui sẽ giúp các bạn giải quyết các vấn đề về lý thuyết cũng như bài tập rút gọn biểu thức chứa căn bậc 2 trong bài viết hôm nay!

I. Tóm tắt lý thuyết

Khi áp dụng vào giải quyết các bài toán liên quan đến căn bậc 2 ta thường gặp các dạng liên quan như: tính giá trị của biểu thức, biến đổi biệu thức chứa căn,... Để thực hiện tốt các dạng toán trên ta cần lưu ý các phương pháp biến đổi sau đây:

- Phép nhân chia căn bậc 2.

- Phép đưa thừa số vào trong hoặc ra khỏi dấu căn.

- Phép khai căn ở mẫu.

- Phép khai căn biểu thức (đưa biểu thức đã cho ra ngoài dấu căn)

- Phép khai phương biểu thức.

Rút gọn biểu thức căn bậc hai

II. Giải toán rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Bài 1: Tính

a) \( \sqrt{\frac{3}{4}} + \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{\frac{1}{12}}\) ;             b) \(\frac{10}{9}(\sqrt{0,8} + \sqrt{1,25})\) ;

c) \(4\sqrt{\frac{2}{9}} + \sqrt{2} + \sqrt{\frac{1}{18}} \);               d) \(\frac{1}{\sqrt{5} - 1} - \frac{1}{\sqrt{5} + 1}.\)

Trả lời:

a) \(\sqrt{\frac{3}{4}} + \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{\frac{1}{12}} = \sqrt{\frac{9}{12}} + \sqrt{\frac{4}{12}} + \sqrt{\frac{1}{12}} = \frac{3}{\sqrt{12}} + \frac{2}{\sqrt{12}} + \frac{1}{\sqrt{12}}  = \frac{6}{\sqrt{12}} = \frac{6\sqrt{12}}{12}.\)

b) \(\frac{10}{9}(\sqrt{0,8} + \sqrt{1,25}) = \frac{10}{9}(\sqrt{\frac{4}{5}} + \sqrt{\frac{5}{4}}) = \frac{10}{9}(\sqrt{\frac{16}{20}} + \sqrt{\frac{25}{20}}) = \frac{10}{9}(\frac{4}{\sqrt{20}}+ \frac{5}{\sqrt{20}}) = \frac{10}{9}.\frac{9}{\sqrt{20}} = \frac{10}{\sqrt{20}} = \sqrt{5}\)

c) \(4\sqrt{\frac{2}{9}} + \sqrt{2} + \sqrt{\frac{1}{18}} =  4\sqrt{\frac{4}{18}} + \sqrt{\frac{36}{18}} + \sqrt{\frac{1}{18}} = \frac{8}{\sqrt{18}} + \frac{6}{\sqrt{18}} + \frac{1}{\sqrt{18}} = \frac{15}{\sqrt{18}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}.\)

d) \( \frac{1}{\sqrt{5} - 1} - \frac{1}{\sqrt{5} + 1} = \frac{\sqrt{5} + 1}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} - \frac{\sqrt{5} - 1}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)} = \frac{\sqrt{5} + 1 - \sqrt{5} + 1}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{2}{5 - 1} = \frac{1}{2}.\)

Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(6\sqrt{a} + \frac{2}{3}\sqrt{\frac{a}{4}} - a\sqrt{\frac{9}{a}} + \sqrt{7} \ với \ a > 0 ;\)

b) \(11\sqrt{5a} - \sqrt{125a} + \sqrt{20a} - 4\sqrt{45a} + 9\sqrt{a} ;\)

c) \(5a\sqrt{25ab^{3}} - \sqrt{3}\sqrt{12a^{3}b^{3}} + 9ab\sqrt{9ab} - 5b\sqrt{81a^{3}b} \ vớ i \ b \geq 0, a \geq 0 ;\)

d) \(\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{ab} - \frac{a}{b}\frac{b}{a}\) với a > 0, b > 0.

Trả lời:

a) \( 6\sqrt{a} + \frac{2}{3}\sqrt{\frac{a}{4}} - a\sqrt{\frac{9}{a}} + \sqrt{7} = 6\sqrt{a} + \frac{2}{3}\frac{\sqrt{a}}{2}  - a\sqrt{\frac{9a}{a^{2}}} + \sqrt{7} = 6\sqrt{a} + \frac{\sqrt{a}}{3}  - 3\sqrt{a} + \sqrt{7} = \frac{10}{3}\sqrt{a} + \sqrt{7}\)

b) \(11\sqrt{5a} - \sqrt{125a} + \sqrt{20a} - 4\sqrt{45a} + 9\sqrt{a} = 11\sqrt{5a} - 5\sqrt{5a} + 2\sqrt{5a} - 12\sqrt{5a} + 9\sqrt{a} = - 4\sqrt{5a} + 9\sqrt{a} =  (9 - 4\sqrt{5})\sqrt{a}.\)

c) \(5a\sqrt{25ab^{3}} - \sqrt{3}\sqrt{12a^{3}b^{3}} + 9ab\sqrt{9ab} - 5b\sqrt{81a^{3}b} = 25ab\sqrt{ab} - 6ab\sqrt{ab} + 27ab\sqrt{ab} - 45ab\sqrt{ab} = ab\sqrt{ab}.\)

d) \(\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{ab} - \frac{a}{b}\frac{b}{a} = \sqrt{\frac{ab}{b^{2}}} + \sqrt{ab} - \frac{a}{b}\frac{ab}{a^{2}} = \frac{\sqrt{ab}}{b} + \sqrt{ab} - \frac{\sqrt{ab}}{b} = \sqrt{ab}.\)

Bài 3: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) \(\left (\frac{\sqrt{14} - \sqrt{7}}{1 - \sqrt{2}} +  \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{3}}  \right ) : \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = - 2\)

b)  \(\frac{a + b}{b^{2}}.\sqrt{\frac{a^{2}b^{4}}{a^{2} + 2ab + b^{2}}} = \left | a \right | \ với \ a + b > 0 \ và \ b \neq 0 ;\)

c) \(\frac{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}} : \frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = a - b \ với \ a > 0, b > 0, a \neq b ;\)

d) \( \left ( \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} - \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}  \right ) : \frac{\sqrt{xy}}{x - y} \ với \ x > 0, y > 0, x \neq y.\)

Trả lời:

a) Ta có vế trái:

\(\left (\frac{\sqrt{14} - \sqrt{7}}{1 - \sqrt{2}} +  \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{3}}  \right ) : \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}\)

\(= \left \lfloor \frac{\sqrt{7}(1 - \sqrt{2})}{1 - \sqrt{2}} +  - \frac{\sqrt{5}(1  - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3}} \right \rfloor : \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}\)

\(= - (\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5}) = - (7 - 5) = - 2.\)

b) Ta có vế trái:

\(\frac{a + b}{b^{2}}.\sqrt{\frac{a^{2}b^{4}}{a^{2} + 2ab + b^{2}}} \)

\(= \frac{a + b}{b^{2}}.\sqrt{\frac{a^{2}b^{4}}{(a + b)^{2}}} = \frac{a + b}{b^{2}}.\frac{\left | a \right |.b^{2}}{a + b} = \left | a \right |\)

c) Ta có vế trái:

\(\frac{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}} : \frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} \)

\(= \frac{\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{ab}}.(\sqrt{a} - \sqrt{b})\)

\(= (\sqrt{a} + \sqrt{b}).(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b\)

d) Biến đổi vế trái ta có:

\(\left ( \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} - \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}  \right ) : \frac{\sqrt{xy}}{x - y} \)

\(= \left \lfloor \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})} - \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})^{2}}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y})} \right \rfloor . \frac{x - y}{\sqrt{xy}}\)

\(= \frac{ x + 2\sqrt{xy} + y - x + 2\sqrt{xy} - y}{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}.\frac{x - y}{\sqrt{xy}}\)

\(= \frac{4\sqrt{xy}}{x - y}.\frac{x - y}{\sqrt{xy}} = 4\)

Bài 4: Rút gọn đẳng thức căn bậc 2:

a)\( \frac{1}{4}\sqrt{180} + \sqrt{20} - \sqrt{45} + 5 ;\)                   b) \(3\sqrt{\frac{1}{3}} + \frac{1}{4}\sqrt{48} - 2\sqrt{3} ;\)

c) \(\sqrt{2a} - \sqrt{18a^{3}} + 4\sqrt{\frac{a}{2}} ;\)                  d) \(\sqrt{\frac{a}{1 + 2b + b^{2}}}.\sqrt{\frac{4a + 8ab + 4ab^{2}}{225}}.\)

Bài 5: Chứng minh tính đúng đắn của các biểu thức dưới đây:

a) \(\sqrt{\frac{2} - \sqrt{3}}{\frac{2} + \sqrt{3}} + \sqrt{\frac{2} + \sqrt{3}}{\frac{2}-  \sqrt{3}} = 4 ;\)

b) \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \frac{2b}{a - b} = 1 \ với \ a \geq 0, b \geq 0, a \neq b\)

c) \( \left ( 1 + \frac{a + \sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1} \right )\left ( 1 - \frac{a - \sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1} \right ) = 1 - a \ với \ a > 0, a \neq 1.\)

Bài 6: Hàm số M dưới đây có phải hàm phụ thuộc không

\(M = \left ( \frac{1}{2 + 2\sqrt{a}} + \frac{1}{2 - 2\sqrt{a}} - \frac{a^{2} + 1}{1 - a^{2}} \right )\left ( 1 + \frac{1}{a} \right ) \ với \ a > 0; a \neq 1.\)

Bài 7: Tim x

Tìm x, biết:

a) \( \sqrt{3x} = 4\) ;            b) \(\sqrt{3x} - \frac{1}{2}\sqrt{3x} + \frac{3}{4}\sqrt{3x} + 5 = 5\sqrt{3x}\)  ;                  c) \(\sqrt{(1 - 2x)^{2}} = 2.\)

Bài 8:

Cho biểu thức:

\(A = \left ( \frac{3}{\sqrt{1 + a}} + \sqrt{1 - a} \right ) : \left ( \frac{3}{\sqrt{1 - a^{2}} + 1} \right )\) với \( - 1 < a < 1.\)

a) Rút gọn biểu thức trên

b) Với \(a = \frac{\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}.\) Tìm A thỏa mãn các điều kiện trên.

Bài 9:

Cho \(M = \frac{x\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} - \frac{x\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x}} + \frac{x + 1}{\sqrt{x}} \ với \ x > 0, x \neq 1.\)

a) Rút gọn biểu thức trên                                           b) Giá trị thích hợp nào của x cho \(M = \frac{9}{2}.\)

c) So sánh M và 4.

Bài 10:

Phân tích ra thừa số:

a) \(x - 9 \ với \ x > 0 \);                                                                   b) \(x - 5\sqrt{x} + 4 ;\)

c) \(6\sqrt{xy} - 4x\sqrt{x} - 9y\sqrt{y} + 6xy \);                              d) \(x - 2\sqrt{x - 1} - a^{2}.\)

Bài 11: Cho các đẳng thức sau và chứng minh tính đúng đắn của chúng:

a) Với \(a>0\) thì  \(a + \frac{1}{a} \geq 2.\)

b) \(\frac{a^{2} + a + 2}{\sqrt{a^{2} + a + 1}} \geq 2\) với mọi a.

c) \(\sqrt{a + 1} - \sqrt{a} <  \frac{1}{2\sqrt{a}} \ với \ a \geq 1.\)

Bai 12:

a) Cho \(a \geq 0, b \geq 0\). Làm sáng tỏ các biểu thức sau:

*\( \sqrt{a + b} \leq  \sqrt{a} + \sqrt{b} ;\)                              *\( \sqrt{a - b} \geq  \sqrt{a} - \sqrt{b}\)

Hy vọng rằng với những kiến thức mới về rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai lớp 9 trên đây, các bạn hoàn toàn có thể nắm chắc một cách dễ dàng và có những giờ học thư giãn!