Đề thi online Tính nguyên hàm của hàm hữu tỷ - Phần 2 Có lời giải chi tiết.

Câu 1 : Họ nguyên hàm của hàm số \(\int {{{2x + 3} \over {2{x^2} - x - 1}}dx} \) là:

A \({2 \over 3}\ln \left| {2x + 1} \right| + {5 \over 3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)

B \( - {2 \over 3}\ln \left| {2x + 1} \right| + {5 \over 3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)

C \({2 \over 3}\ln \left| {2x + 1} \right| - {5 \over 3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)

D \( - {1 \over 3}\ln \left| {2x + 1} \right| + {5 \over 3}\ln \left| {x - 1} \right| + C\)

Câu 2 : Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {1 \over {{x^2} + 2x + 2}}\)

A \(\int {f\left( x \right)} dx = \arcsin \left( {x + 1} \right) + C\)

B \(\int {f\left( x \right)} dx = \arctan \left( {x + 1} \right) + C\)

C \(\int {f\left( x \right)} dx = \arccos \left( {x + 1} \right) + C\)

D \(\int {f\left( x \right)} dx = {\mathop{\rm arccot}\nolimits} \left( {x + 1} \right) + C\)

Câu 3 : Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {{x\left( {x + 2} \right)} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) ?

A \({{{x^2} + x - 1} \over {x + 1}}\)

B \({{{x^2} - x - 1} \over {x + 1}}\)

C \({{{x^2} + x + 1} \over {x + 1}}\)

D \({{{x^2}} \over {x + 1}}\)

Câu 4 : Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {1 \over {{x^2} - {a^2}}}\) là:

A \({1 \over {2a}}\ln \left| {{{x - a} \over {x + a}}} \right| + C\)

B \({1 \over a}\ln \left| {{{x - a} \over {x + a}}} \right| + C\)

C \({1 \over {2a}}\ln \left| {{{x + a} \over {x - a}}} \right| + C\)

D \({1 \over a}\ln \left| {{{x + a} \over {x - a}}} \right| + C\)

Câu 5 : Cho hàm số \(f\left( x \right) = {{{x^3} + 3{x^2} + 3x - 1} \over {{x^2} + 2x + 1}}\). Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = {1 \over 3}\). Tìm \(F\left( x \right)\) ?

A \(F\left( x \right) = {{{x^2}} \over 2} + x + {2 \over {x + 1}} + {{13} \over 6}\)

B \(F\left( x \right) = {{{x^2}} \over 2} + x + {1 \over {x + 1}} + {5 \over 3}\)

C \(F\left( x \right) = {{{x^2}} \over 2} + x + {2 \over {x + 1}} - {5 \over 3}\)

D \(F\left( x \right) = {{{x^2}} \over 2} + x + {2 \over {x + 1}} - {{13} \over 6}\)

Câu 6 : \(\int {{1 \over {{x^2} + 6x + 9}}dx} \) bằng?

A \( - {1 \over {x + 3}} + C\)

B \({1 \over {x - 3}} + C\)

C \({1 \over {x + 3}} + C\)

D \({1 \over {3 - x}} + C\)

Câu 7 : \(\int {{{x + 1} \over {{x^2} - 3x + 2}}dx} \) bằng?

A \(3\ln \left| {x - 2} \right| - 2\ln \left| {x - 1} \right| + C\)

B \(2\ln \left| {x - 2} \right| - 3\ln \left| {x - 1} \right| + C\)

C \(3\ln \left| {x - 2} \right| + 2\ln \left| {x - 1} \right| + C\)

D \(2\ln \left| {x - 2} \right| + 3\ln \left| {x - 1} \right| + C\)

Câu 8 : Cho hàm số \(f\left( x \right) = {{{x^2} + 2x - 1} \over {{x^2} + 2x + 1}}\). Nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = 0\) là:

A \(x + {2 \over {x + 1}} + 2\)

B \(x - {2 \over {x + 1}} + 2\)

C \(x - 2\ln {\left( {x + 1} \right)^2}\)

D \(x + {2 \over {x + 1}} - 2\)

Câu 9 : \(\int {{x \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} \) bằng?

A \(\ln \left| {x + 1} \right| + {1 \over {x + 1}} + C\)

B \(\ln \left| {x + 1} \right| + C\)

C \(\ln \left| {x + 1} \right| + x + 1 + C\)

D \({1 \over {x + 1}} + C\)

Câu 10 : \(\int {{{xdx} \over {4 - {x^2}}}} \)bằng:

A \( - {1 \over 2}\ln \left| {4 - {x^2}} \right| + C\)

B \({1 \over 2}\ln \left| {4 - {x^2}} \right| + C\)

C \( - {1 \over 2}\ln \left| {{{2 - x} \over {2 + x}}} \right| + C\)

D \( - {1 \over 2}\ln \left| {{{2 + x} \over {2 - x}}} \right| + C\)

Câu 11 : Để tính \(I = \int {{{4x - 1} \over {{x^3} + 2{x^2} + x + 2}}dx} \) , ta đặt : \({{4x - 1} \over {{x^3} + 2{x^2} + x + 2}} = {{Ax + B} \over {{x^2} + 1}} - {C \over {x + 2}}\). Dùng phương pháp đồng nhất 2 vế ta được :

A \(A = {9 \over 5},B = {2 \over 5},C = {{ - 9} \over 5}\)

B \(A = 9,B = 2,C = - 9\)

C \(A = {9 \over 5},B = {2 \over 5},C = {9 \over 5}\)

D Đáp án khác

Câu 12 : Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không phải là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 1 + {3 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

A \(F\left( x \right) = {{{x^2} + x + 1} \over {x + 1}}\)

B \(F\left( x \right) = {{{x^2} + \left( {1 + \cos \alpha } \right)x + \cos \alpha - 3} \over {x + 1}}\)

C \(F\left( x \right) = {{{x^2} + x - 3} \over {x + 1}}\)

D \(F\left( x \right) = {{{x^2} + \left( {1 + \sin 2\alpha } \right)x + \sin 2\alpha - 3} \over {x + 1}}\)

Câu 13 : Đâu không phải là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {{{e^x}} \over {{e^x} + 4}}\)

A \(F\left( x \right) = \ln \left( {{e^x} + 4} \right)\)

B \(F\left( x \right) = \ln {{{e^x} + 4} \over 2}\)

C \(F\left( x \right) = {e^x}\ln \left| {{e^x} + 4} \right|\)

D \(F\left( x \right) = \ln \left( {{e^x} + 4} \right) + \sin \alpha \)

Câu 14 : Bài toán sau đây giải sai từ bước nào?Tìm nguyên hàm của hàm số sau: \(f\left( x \right) = {{{x^2} + 2x - 1} \over {2{x^3} + 3{x^2} - 2x}}\)Bước 1: Ta có: \(2{x^3} + 3{x^2} - 2x = x\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right)\)Bước 2:\(\eqalign{ & I = \int {f\left( x \right)dx = \int {{{{x^2} + 2x - 1} \over {2{x^3} + 3{x^2} - 2x}}dx = \int {{{{x^2} + 2x - 1} \over {x\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right)}}} } } dx = \int {\left( {{A \over x} + {B \over {x + 2}} + {C \over {2x - 1}}} \right)} dx \cr & = \int {{{A\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right) + Bx\left( {x + 2} \right) + Cx\left( {2x - 1} \right)} \over {x\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right)}}} = \int {{{{x^2}\left( {2A + B + 2C} \right) + x\left( {3A + 2B - C} \right) - 2A} \over {x\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right)}}dx} \cr} \) Bước 3: Đồng nhất hệ số \( \Rightarrow \left\{ \matrix{2A + B + 2C = 1 \hfill \cr 3A + 2B - C = 2 \hfill \cr - 2A = - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{A = {1 \over 2} \hfill \cr B = {1 \over 5} \hfill \cr C = {{ - 1} \over {10}} \hfill \cr} \right.\)Bước 4: \(I = \int {{1 \over {2x}}} dx + \int {{1 \over {5\left( {2x - 1} \right)}}} dx - \int {{1 \over {10\left( {x + 2} \right)}}} dx = {1 \over 2}\ln \left| x \right| + {1 \over 5}\ln \left| {2x - 1} \right| - {1 \over {10}}\ln \left| {x + 2} \right| + C\)

A 1

B 2

C 3

D 4

Câu 15 : Số phát biểu đúng là:1. Hàm số \(f\left( x \right) = {1 \over {2 - x}}\) có một nguyên hàm là \(F\left( x \right) = - \ln \left| {2 - x} \right|\)2. Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2x + 1} \) có một nguyên hàm là \(F\left( x \right) = {\left( {2x + 1} \right)^{{3 \over 2}}}\)3. Hàm số \(f\left( x \right) = {{{{\left( {\sqrt x + x} \right)}^3}} \over x}\) có một nguyên hàm là \(F\left( x \right) = {2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}} + {3 \over 2}{x^2} + {6 \over 5}{x^{{5 \over 2}}} + {1 \over 3}{x^3} + 1\)4.Hàm số \(f\left( x \right) = {1 \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)}}\) có một nguyên hàm là \(F\left( x \right) = {1 \over 8}\ln {{\left| {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 5} \right)} \right|} \over {{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\)

A 1

B 2

C 3

D 4

Câu 16 : Tính \(\int {{1 \over {\left( {\ln x - 5} \right)\left( {\ln x - 6} \right)}}\log {e^{{1 \over x}}}dx} \)

A \(\log e.\ln \left| {{{\ln x - 5} \over {\ln x - 6}}} \right| + C\)

B \(\log e.\ln \left| {{{\ln x - 6} \over {\ln x - 5}}} \right| + C\)

C \(\log e.\ln \left| {{{\ln x + 6} \over {\ln x + 5}}} \right| + C\)

D \( - \log e.\ln \left| {{{\ln x - 6} \over {\ln x - 5}}} \right| + C\)

Câu 17 : \(\int {{{4x - 1} \over {4{x^2} - 2x + 5}}dx} \) bằng?

A \({1 \over 2}\ln \left( {4{x^2} - 2x + 5} \right) + C\)

B \( - {1 \over {4{x^2} - 2x + 5}} + C\)

C \({1 \over {4{x^2} - 2x + 5}} + C\)

D \( - \ln \left( {4{x^2} - 2x + 5} \right) + C\)

Đề thi online Tính nguyên hàm của hàm hữu tỷ - Ph...