Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức phụ - Có lời giải chi tiết.

Câu 1 : Cho \(x,y>0\) thỏa mãn \(x+y=1.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M=\frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{2}{xy}\) là:

A \(10\)

B

\(20\)

C \(15\)

D \(18\)

Câu 2 : Cho \(a,b,c>0.\) Giả sử rằng \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge A\left( \frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a} \right)\) Khi đó giá trị có thể của \(A\) là:

A 5

B 6

C 3

D 4

Câu 3 : Cho \(a,b,c>0.\) Giả sử \(\frac{4}{a}+\frac{5}{b}+\frac{3}{c}\ge A\left( \frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right).\) Khi đó giá trị lớn nhất có thể có của \(A\) là:

A 5

B 6

C 3

D 4

Câu 4 : Cho \(a,b,c\) là độ dài các cạnh của tam giác \(ABC\) , gọi \(p\) là nửa chu vi tam giác đó. Giả sử rằng \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}=2\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right).\) Khi đó kết luận nào sau đây là đúng

A \(\Delta ABC\) đều

B \(\Delta ABC\) vuông

C \(\Delta ABC\) cân

D \(\Delta ABC\) vuông cân

Câu 5 : Cho \(x,y,z>0\) thỏa mãn \(x+2y+3z=6.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(A=\frac{2y+3z+5}{1+x}+\frac{3z+x+5}{1+2y}+\frac{x+2y+5}{1+3z}\) là:

A 6

B 9

C 12

D 15

Câu 6 : Cho \(x,y,z>0\) thỏa mãn \(4x+2y+z=4.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(A=\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{4}{z}\) là:

A 12

B 9

C 4

D 2

Câu 7 : Cho \(a,b,c\ge 0,a+b+c=1.\) Thì\(\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}=\frac{1}{4}\) khi

A \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

B \(a=b=\frac{1}{2},c=0\)

C \(a=\frac{1}{2},b=\frac{1}{3},c=\frac{1}{6}\)

D \(a=0,b=c=\frac{1}{2}\)

Câu 8 : Cho \(a,b,c>0.\) Giả sử(i) \(\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)\ge 8abc\) (ii)\(\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)\ge 6abc\)Khi đó mệnh đề đúng là:

A Chỉ có \((i)\) đúng

B Chỉ có \(\left( ii \right)\) đúng

C Cả hai đều sai

D Cả hai đều đúng

Câu 9 : Cho \(a,b,c\) là độ dài các cạnh của tam giác \(ABC\) , gọi \(p\) là nửa chu vi tam giác đó.Giả sử rằng \(\frac{p}{p-a}+\frac{p}{p-b}+\frac{p}{p-c}\le 9\) luôn đúng. Khi đó kết luận nào sau đây là đúng

A \(\Delta ABC\) đều

B \(\Delta ABC\) vuông

C \(\Delta ABC\) cân

D \(\Delta ABC\) vuông cân

Câu 10 : Cho \(a,b\ge 0.\) Giả sử rằng \(\left( ax+by \right)\left( bx+ay \right)={{\left( a+b \right)}^{2}}xy.\) Khi đó

A \(a=0\)

B \(b=0\)

C \(x=y\)

D Cả A,B,C đều đúng

Câu 11 : Cho \(x,y,z>0\) thỏa mãn \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4.\) Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức\(M=\frac{1}{3x+2y+z}+\frac{1}{x+3y+2z}+\frac{1}{2x+y+3z}\) là:

A \(1\)

B \(\frac{5}{3}\)

C \(\frac{2}{3}\)

D \(\frac{4}{3}\)

Câu 12 : Cho \(x,y>0\) thỏa mãn \(2x+2y+xy\ge 12.\) Giả sử rằng \(P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}.\) Khi đó

A \(P\ge 10\)

B \(P\ge 51\)

C \(P\ge 8\)

D \(P\ge 14\)

Câu 13 : Cho \(a,b,c\in \mathbb{R}\) thỏa mãn \(ab-ac+bc=-1.\) Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức\(M={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\) đạt được tại

A \(a=c=\frac{1}{\sqrt{3}},b=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)

B \(a=c=-\frac{1}{\sqrt{3}},b=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

C Đáp án A.B đều sai

D Đáp án A,B đều đúng.

Câu 14 : Cho \(x,y>0\) thỏa mãn \(x+2y=1\) giá trị nhỏ nhất của \(M=\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\) là:

A 8

B 9

C 10

D 11

Câu 15 : Cho \(x,y>0\) thỏa mãn \(2x+3y=1.\) Giá trị nhỏ nhất của \(M=\frac{3}{x}+\frac{2}{y}\) là:

A 28

B 26

C 24

D 22

Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp sử dụng...