Cho \(a,b,c>0.\) Giả sử rằng \(\frac{1}{a}+\fra...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Viết \(\frac{1}{a+2b}=\frac{1}{a+b+b}\) rồi áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\ge \frac{9}{x+y+z}\)

Giải chi tiết:

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge \frac{9}{x+y+z}\) với \(x=a,y=z=b\) ta nhận được

\(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge \frac{9}{a+b+b}=\frac{9}{a+2b}\,\,\left( 1 \right).\)

Tương tự ta có

\(\frac{1}{b} + \frac{2}{c} \ge \frac{9}{{b + 2c}}\,\,\left( 2 \right),\)

\(\frac{1}{c} + \frac{2}{a} \ge \frac{9}{{c + 2a}}\,\,\left( 3 \right).\)

Cộng vế theo vế bất đẳng thức \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right),\,\,\left( 3 \right)\) ta nhận được

\(\begin{align}& \,\,\,\,\,3\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\ge 9\left( \frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a} \right) \\& \Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 3\left( \frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a} \right). \\\end{align}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{align}& a=b \\ & b=c \\& c=a \\\end{align} \right.\Leftrightarrow a=b=c.\) Khi đó \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{a},\,\,A\left( \frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a} \right)=\frac{3A}{3a}=\frac{A}{a}.\) Vậy \(A\le 3.\)

Chọn đáp án C.