Cho \(a,b,c\in \mathbb{R}\) thỏa mãn \(ab-ac+bc=-1...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng các bất đẳng thức \({{\left( a+b \right)}^{2}}\ge 0;{{\left( a-c \right)}^{2}}\ge 0;{{\left( b+c \right)}^{2}}\ge 0\) để đánh giá \(M\) làm xuất hiện \(ab-ac+bc\)

Giải chi tiết:

Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a + b} \right)^2} \ge 0\\{\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\\{\left( {b + c} \right)^2} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} \ge - 2ab\\{a^2} + {c^2} \ge 2ac\\{b^2} + {c^2} \ge - 2bc\end{array} \right..\)

Cộng vế theo vế bất đẳng thức trên ta nhận được

\(2M \ge  - 2ab + 2ac + \left( { - 2bc} \right) =  - 2\left( {ab - ac + bc} \right) = 2 \Rightarrow M \ge 1.\)

Giá trị nhỏ nhất đạt được tại

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\a - c = 0\\b + c = 0\\ab - ac + bc = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - b\\a = c\\b = - c\\ab - ac + bc = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = c = - b\\ - {a^2} - {a^2} - {a^2} = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = c = - b\\3{a^2} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = c = - b\\a = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = c = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\b = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = c = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\b = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right.\end{array} \right..\end{array}\)

Chọn đáp án D.