Cho \(x,y>0\) thỏa mãn \(x+y=1.\) Giá trị nhỏ n...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Phân tích đề: đề bài cho \(x+y=1\Rightarrow \) tìm cách làm xuất hiện \(x+y\).

- Áp dụng các bất đẳng thức: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\) và \(a+b\ge 2\sqrt{ab}\).

Giải chi tiết:

Ta viết lại \(M=\frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{1}{2xy}+\frac{3}{2xy}\,\,\left( 1 \right).\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\) với \(a={{x}^{2}}+{{y}^{2}},b=2xy\) ta nhận được

\(\frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{1}{2xy}\ge \frac{4}{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)+2xy}=\frac{4}{{{\left( x+y \right)}^{2}}}=4\,\,\left( 2 \right).\)

Mặt khác theo bất đẳng thức Cô-si ta có \(\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}\Rightarrow \frac{1}{2}\ge \sqrt{xy}\Leftrightarrow \frac{1}{4}\ge xy\Leftrightarrow 2xy\le \frac{1}{2}.\)

Suy ra \(\frac{3}{2xy}\ge 6\,\,\left( 3 \right).\)

Thay \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta nhận được \(M=\left( \frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{1}{2xy} \right)+\frac{3}{2xy}\ge 4+6=10.\)

Giá trị nhỏ nhất đạt được khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2xy \\& x+y=1 \\& x=y \\\end{align} \right.\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}.\)

Chọn đáp án A.