Cho \(a,b\ge 0.\) Giả sử rằng \(\left( ax+by \righ...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Coi đẳng thức đã cho là một phương trình với 4 ẩn a,b,x,y   ẩn  , chuyển vế, đưa phương trình về dạng phương trình tích.

Giải chi tiết:

Ta biến đổi

\(\begin{array}{l}\,\left( {ax + by} \right)\left( {bx + ay} \right) - {\left( {a + b} \right)^2}xy = \left( {ax} \right)\left( {bx} \right) + \left( {by} \right)\left( {bx} \right) + \left( {ax} \right)\left( {ay} \right) + \left( {by} \right)\left( {ay} \right) - \left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right)xy\\ = ab{x^2} + {b^2}xy + {a^2}xy + ab{y^2} - {a^2}xy - 2abxy - {b^2}xy\\ = ab\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) = ab{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0.\end{array}\)

Mặt khác ta có

\(\left( {ax + by} \right)\left( {bx + ay} \right) = {\left( {a + b} \right)^2}xy \Leftrightarrow \left( {ax + by} \right)\left( {bx + ay} \right) - {\left( {a + b} \right)^2}xy = 0.\)

Vì vậy ta có

\(ab{\left( {x - y} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\\x = y\end{array} \right..\)

Chọn đáp án D.