Cho \(x,y,z>0\) thỏa mãn \(\frac{1}{x}+\frac{1}...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Phân tích đề: nhận thấy đề bài cho \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4\) nên cần làm cho \(M\) xuất hiện \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)  bằng cách áp dụng phối hợp hai bất đẳng thức \(\frac{1}{a+b}\le \frac{1}{4}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)\) và \(\frac{1}{a+b+c}\le \frac{1}{9}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\).

Giải chi tiết:

Áp dụng bất đẳng thức \( \frac{1}{{a + b}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)\) với \(a = 3x,b = 2y + z\) ta có

\(\frac{1}{{3x + 2y + z}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{3x}} + \frac{1}{{2y + z}}} \right)\,\,\left( 1 \right).\) Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{{a + b + c}} \le \frac{1}{9}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\) với \(a = b = y,c = z\) ta nhận được

\(\frac{1}{{2y + z}} = \frac{1}{{y + y + z}} \le \frac{1}{9}\left( {\frac{1}{y} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = \frac{1}{9}\left( {\frac{2}{y} + \frac{1}{z}} \right)\,\,\left( 2 \right).\) Từ (1) và (2) ta nhận được

\(\frac{1}{{3x + 2y + z}} \le \frac{1}{4}\left[ {\frac{1}{{3x}} + \frac{1}{9}\left( {\frac{2}{y} + \frac{1}{z}} \right)} \right] = \frac{1}{{12}}\left( {\frac{1}{x} + \frac{2}{{3y}} + \frac{1}{{3z}}} \right)\,.\) Chứng minh tương tự ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x + 3y + 2z}} \le \frac{1}{{12}}\left( {\frac{1}{{3x}} + \frac{1}{y} + \frac{2}{{3z}}} \right)\\\,\frac{1}{{2x + y + 3z}} \le \frac{1}{{12}}\left( {\frac{2}{{3x}} + \frac{1}{{3y}} + \frac{1}{z}} \right).\end{array} \right.\)

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta nhận được

\(\begin{array}{l}M \le \frac{1}{{12}}\left[ {\left( {\frac{1}{x} + \frac{2}{{3y}} + \frac{1}{{3z}}} \right) + \left( {\frac{1}{{3x}} + \frac{1}{y} + \frac{2}{{3z}}} \right) + \left( {\frac{2}{{3x}} + \frac{1}{{3y}} + \frac{1}{z}} \right)} \right]\\\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{{12}}\left[ {\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{{3x}} + \frac{2}{{3x}}} \right) + \left( {\frac{2}{{3y}} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{3y}}} \right) + \left( {\frac{1}{{3z}} + \frac{2}{{3z}} + \frac{1}{z}} \right)} \right]\\\,\,\,\,\, = \frac{1}{{12}}\left( {\frac{2}{x} + \frac{2}{y} + \frac{2}{z}} \right) = \frac{1}{6}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = \frac{1}{6}.4 = \frac{2}{3}.\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}x = y = z\\\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = z = \frac{3}{4}.\)

Chọn đáp án C