Cho \(a,b,c\) là độ dài các cạnh của tam giác \(AB...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge \frac{9}{x+y+z}\) với chú ý \(a+b+c=2p\).

Giải chi tiết:

Ta áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge \frac{9}{x+y+z}\) với \(x=p-a,y=p-b,z=p-c\) và chú ý \(\left( p-a \right)+\left( p-b \right)+\left( p-c \right)=3p-\left( a+b+c \right)=3p-2p=p\) ta nhận được

\(\begin{align}& \,\,\,9\ge \frac{p}{p-a}+\frac{p}{p-b}+\frac{p}{p-c}=p\left( \frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c} \right) \\& \ge p.\frac{9}{\left( p-a \right)+\left( p-b \right)+\left( p-c \right)}=\frac{9p}{p}=9. \\\end{align}\)

Do đó để bất đẳng thức ban đầu luôn đúng thì ta cần phải có dấu bằng, khi đó ta phải có \(p-a=p-b=p-c\Leftrightarrow a=b=c.\) Vậy \(\Delta ABC\) đều.

Chọn đáp án A.