Cho \(x,y,z>0\) thỏa mãn \(x+2y+3z=6.\) Giá trị...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Nhận thấy đề bài cho \(x+2y+3z=6\) nên cần làm cho \(A\) xuất hiện \(x+2y+3z\) bằng cách \(+1) vào mỗi phân thức.

- Sau đó áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{a+b+c}\).

Giải chi tiết:

Ta viết lại

\(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{{2y + 3z + 5}}{{1 + x}} + 1} \right) + \left( {\frac{{3z + x + 5}}{{1 + 2y}} + 1} \right) + \left( {\frac{{x + 2y + 5}}{{1 + 3z}} + 1} \right) - 3\\\,\,\,\,\, = \frac{{x + 2y + 3z + 6}}{{1 + x}} + \frac{{x + 2y + 3z + 6}}{{1 + 2y}} + \frac{{x + 2y + 3z + 6}}{{1 + 3z}} - 3\\\,\,\,\,\, = \left( {x + 2y + 3z + 6} \right)\left( {\frac{1}{{1 + x}} + \frac{1}{{1 + 2y}} + \frac{1}{{1 + 3z}}} \right) - 3.\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{a+b+c}\) với \(a=1+x,b=1+2y,c=1+3z\) ta nhận được

 \(A \ge \left( {x + 2y + 3z + 6} \right)\frac{9}{{\left( {1 + x} \right) + \left( {1 + 2y} \right) + \left( {1 + 3z} \right)}} - 3 = \frac{{9\left( {x + 2y + 3z + 6} \right)}}{{x + 2y + 3z + 3}} - 3 = \frac{{9.\left( {6 + 6} \right)}}{{6 + 3}} - 3 = 9\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  

\(\left\{ \begin{array}{l}1 + x = 1 + 2y = 1 + 3z\\x + 2y + 3z = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2y = 3z\\x + 2y + 3z = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\\z = \frac{2}{3}\end{array} \right.\)

Chọn đáp án B.