Cho \(a,b,c>0.\) Giả sử \(\frac{4}{a}+\frac{5}...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

-nhận thấy vế trái có \(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\) nên cần tìm cách đánh giá vế phải để xuất hiện \(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\).

- Sử dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\( hay \)\frac{1}{a+b}\le \frac{1}{4}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)\) ta sẽ nhận được kết quả cần có.

Giải chi tiết:

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}\) với \(x=a,y=b\) ta nhận được

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\Leftrightarrow \frac{3}{a}+\frac{3}{b}\ge \frac{12}{a+b}\,\,\left( 1 \right).\)

Tương tự ta có

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\ge \frac{4}{a+c}=\frac{4}{c+a}\,\,\left( 2 \right),\)     \(\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\ge \frac{8}{b+c}\,\,\left( 3 \right).\)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta nhận được

\(\frac{4}{a}+\frac{5}{b}+\frac{3}{c}\ge 4\left( \frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right).\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c.\) Khi đó \(\frac{4}{a}+\frac{5}{b}+\frac{3}{c}=\frac{12}{a},\frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{c+a}=\frac{6}{2a}=\frac{3}{a}.\)

Do đó \(\frac{4}{a}+\frac{5}{b}+\frac{3}{c}\ge A\left( \frac{3}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right)\) kéo theo \(\frac{12}{a}\ge \frac{3A}{a}\Leftrightarrow 4\ge A.\)

Kết hợp các điều trên với nhau ta nhận được giá trị lớn nhất của \(A\) là \(4.\)

Chọn đáp án D.