Cho \(a,b,c\) là độ dài các cạnh của tam giác \(AB...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

nhận thấy vế phải có \(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\) nên ta cần đánh giá vế trái để xuất hiện \(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\) bằng cách dùng bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}\) và để ý \(2p=a+b+c\).

Giải chi tiết:

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}\)với \(x=p-a,y=p-b\) với chú ý \(2p=a+b+c,\) ta có

 \(\frac{1}{{p - a}} + \frac{1}{{p - b}} \ge \frac{4}{{\left( {p - a} \right) + \left( {p - b} \right)}} = \frac{4}{{2p - \left( {a + b} \right)}} = \frac{4}{{\left( {a + b + c} \right) - \left( {a + b} \right)}} = \frac{4}{c}\,\,\,\,\left( 1 \right).\)

Tương tự ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{p - a}} + \frac{1}{{p - c}} \ge \frac{4}{b}\,\,\,\,\left( 2 \right)\\\frac{1}{{p - b}} + \frac{1}{{p - c}} \ge \frac{4}{a}\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Cộng vế theo vế bất đẳng thức \(\left( 1 \right)-\left( 3 \right)\) ta có

 \(2\left( {\frac{1}{{p - a}} + \frac{1}{{p - b}} + \frac{1}{{p - c}}} \right) \ge 4\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \Leftrightarrow \frac{1}{{p - a}} + \frac{1}{{p - b}} + \frac{1}{{p - c}} \ge 2\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right).\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  

\(\left\{ \begin{array}{l}p - a = p - b\\p - a = p - c\\p - b = p - c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\a = c\\b = c\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c.\)

Khi đó \(\Delta ABC\) là tam giác đều.

Chọn đáp án A.