Cho \(a,b,c\ge 0,a+b+c=1.\) Thì\(\frac{ab}{c+1}+\f...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Đánh giá \(\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\ge \frac{1}{4}\) bằng cách khéo léo sử dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{4}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right)\ge \frac{1}{x+y}\).

- Dùng điều kiện xảy ra dấu \(=\) của bất đẳng thức để tìm \(a,b,c\)

Giải chi tiết:

Ta viết lại

\(\begin{array}{l}\frac{1}{4} = \frac{{ab}}{{c + 1}} + \frac{{bc}}{{a + 1}} + \frac{{ca}}{{b + 1}} = \frac{{ab}}{{c + \left( {a + b + c} \right)}} + \frac{{bc}}{{a + \left( {a + b + c} \right)}} + \frac{{ca}}{{b + \left( {a + b + c} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{ab}}{{\left( {a + c} \right) + \left( {b + c} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {b + a} \right) + \left( {c + a} \right)}} + \frac{{ca}}{{\left( {c + b} \right) + \left( {a + b} \right)}}.\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}} \Rightarrow \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge \frac{1}{{x + y}}\) với \(x = \left( {a + c} \right),y = \left( {b + c} \right)\)  ta nhận được

 \(\frac{1}{{\left( {a + c} \right) + \left( {b + c} \right)}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{a + c}} + \frac{1}{{b + c}}} \right) \Rightarrow \frac{{ab}}{{\left( {a + c} \right) + \left( {b + c} \right)}} \le \frac{{ab}}{4}\left( {\frac{1}{{a + c}} + \frac{1}{{b + c}}} \right)\,\,\left( 1 \right).\)

Tương tự ta có

\(\frac{{bc}}{{\left( {b + a} \right) + \left( {c + a} \right)}} \le \frac{{bc}}{4}\left( {\frac{1}{{b + a}} + \frac{1}{{c + a}}} \right)\,\,\left( 2 \right)\)

\(\frac{{ca}}{{\left( {c + b} \right) + \left( {a + b} \right)}} \le \frac{{ca}}{4}\left( {\frac{1}{{c + b}} + \frac{1}{{a + b}}} \right)\,\,\left( 3 \right).\)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta nhận được

\(\begin{array}{l}\frac{1}{4} = \frac{{ab}}{{\left( {a + c} \right) + \left( {b + c} \right)}} + \frac{{bc}}{{\left( {b + a} \right) + \left( {c + a} \right)}} + \frac{{ca}}{{\left( {c + b} \right) + \left( {a + b} \right)}}\\\,\,\,\, \le \frac{{ab}}{4}\left( {\frac{1}{{a + c}} + \frac{1}{{b + c}}} \right) + \frac{{bc}}{4}\left( {\frac{1}{{b + a}} + \frac{1}{{c + a}}} \right) + \frac{{ca}}{4}\left( {\frac{1}{{c + b}} + \frac{1}{{a + b}}} \right)\\\,\,\,\, = \frac{{ab + bc}}{{4\left( {a + c} \right)}} + \frac{{ab + ca}}{{4\left( {c + b} \right)}} + \frac{{bc + ca}}{{4\left( {a + b} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{b\left( {a + c} \right)}}{{4\left( {a + c} \right)}} + \frac{{a\left( {c + b} \right)}}{{4\left( {c + b} \right)}} + \frac{{c\left( {a + b} \right)}}{{4\left( {a + b} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{1}{4}\left( {a + b + c} \right) = \frac{1}{4}.\end{array}\)

Dấu bằng đạt được khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}a + c = b + c\\b + a = c + a\\c + b = a + b\\a + b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{3}.\)

Chọn đáp án A.