Trả lời câu hỏi Bài 2 trang 71 SGK Toán 9 Tập 1

Đề bài

Xét tam giác ABC vuông tại A có \(\widehat A = \alpha \) . Chứng minh rằng:

a) \(\alpha  = {45^o} \Leftrightarrow {{AC} \over {AB}} = 1\)

b) \(\alpha  = {60^o} \Leftrightarrow {{AC} \over {AB}} = \sqrt 3 \)

Hướng dẫn giải

a)

Tam giác ABC vuông tại A có \(\widehat B = {45^o} \Rightarrow \Delta ABC\) vuông cân tại A \( \Rightarrow AB = AC \Rightarrow {{AB} \over {AC}} = 1\)

b)

Kẻ trung tuyến AD của tam giác vuông ABC

\( \Rightarrow AD = BD = {{BC} \over 2}\)

Tam giác ABD có: \(AD = BD,\,\,\widehat {ABD} = {60^o}\)

\( \Rightarrow \Delta ABD\) là tam giác đều

\( \Rightarrow AB = AD = {{BC} \over 2} \Rightarrow BC = AB\)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A có:

\(\eqalign{& A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}  \cr &  \Leftrightarrow A{B^2} + A{C^2} = 4A{B^2}  \cr &  \Leftrightarrow A{C^2} = 3A{B^2} \Leftrightarrow AC = \sqrt 3 AB  \cr &  \Leftrightarrow {{AC} \over {AB}} = \sqrt 3  \cr} \)