Bài 63 trang 33 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

Rút gọn biểu thức sau:

a) \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{ab}+\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}}\) với \(a>0\) và \(b>0\);

b) \(\sqrt{\dfrac{m}{1-2x+x^{2}}}.\sqrt{\dfrac{4m-8mx+4m^{2}}{81}}\) với \(m>0\) và \(x\neq 1.\)

Hướng dẫn giải

+ \( \sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\),   với \(a \ge 0, \ b > 0\).

+ \(\dfrac{A}{\sqrt B}=\dfrac{A\sqrt B}{B}\),   với \( B > 0\).

+ \((\sqrt b)^2=b\),  với \(b \ge 0\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{ab}+\dfrac{a}{b}\sqrt{\dfrac{b}{a}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt b}+\sqrt{ab}+\dfrac{a}{b}.\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt a}\)

\(=\dfrac{\sqrt{a}.\sqrt b}{(\sqrt b)^2}+\sqrt{ab}+\dfrac{a}{b}.\dfrac{\sqrt{b}.\sqrt a}{(\sqrt a)^2}\)

\(=\dfrac{\sqrt{ab}}{b}+\sqrt{ab}+\dfrac{a}{b}.\dfrac{\sqrt{ab}}{a}\)

\(=\dfrac{\sqrt{ab}}{b}+\sqrt{ab}+\dfrac{\sqrt{ab}}{b}\)

\(={\left(\dfrac{\sqrt{ab}}{b}+\dfrac{\sqrt{ab}}{b} \right)}+\sqrt{ab}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{ab}}{b}+\sqrt{ab}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{ab}}{b}+\dfrac{b\sqrt{ab}}{b}\)

\(=\dfrac{2+b}{b}\sqrt{ab}\).

b) Ta có:

\(\sqrt{\dfrac{m}{1-2x+x^{2}}}.\sqrt{\dfrac{4m-8mx+4mx^{2}}{81}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{m}{1-2x+x^{2}}}.\sqrt{\dfrac{4m(1-2x+x^{2})}{81}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{m}{1-2x+x^{2}}.\dfrac{4m(1-2x+x^{2})}{81}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{m}{1}.\dfrac{4m}{81}}=\sqrt{\dfrac{4m^{2}}{81}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{(2m)^2}{9^2}}=\dfrac{|2m|}{9}=\dfrac{2m}{9}\).

Vì \(m >0\) nên \(|2m|=2m\).