Bài 64 trang 33 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) \(\left ( \dfrac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right ). \left ( \dfrac{1-\sqrt{a}}{1-a} \right )^{2}= 1\) với \(a ≥ 0\) và \(a ≠ 1\)

b) \(\dfrac{a+b}{b^{2}}\sqrt{\dfrac{a^{2}b^{4}}{a^{2}+2ab+b^{2}}}  = \left| a \right|\) với \(a + b > 0\) và \(b ≠ 0\)

Hướng dẫn giải

+ Biến đối vế trái thành vế phải ta sẽ có điều cần chứng minh.

+ \(\sqrt{A^2}=|A|\).

+ \(|A|=A \)    nếu    \(A \ge 0\),

    \(|A|=-A\)     nếu    \(A < 0\).

+ Sử dụng các hằng đẳng thức:

         \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)

         \(a^2- b^2=(a+b).(a-b)\).

         \(a^3- b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2\).

Lời giải chi tiết

a) Biến đổi vế trái để được vế phải.

Ta có:

\(VT=\left ( \dfrac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right ). \left ( \dfrac{1-\sqrt{a}}{1-a} \right )^{2}\)

       \(=\left ( \dfrac{1-(\sqrt{a})^3}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right ). \left ( \dfrac{1-\sqrt{a}}{(1-\sqrt a)(1+ \sqrt a)} \right )^{2}\)

       \(=\left ( \dfrac{(1-\sqrt{a})(1+\sqrt a+(\sqrt a)^2)}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right ). \left ( \dfrac{1}{1+ \sqrt a} \right )^{2}\)

       \(=\left [ (1+\sqrt a+(\sqrt a)^2) +\sqrt{a}\right ].  \dfrac{1}{(1+ \sqrt a)^2}\)

       \(=\left [ (1+2\sqrt a+(\sqrt a)^2)\right ].  \dfrac{1}{(1+ \sqrt a)^2}\)

       \(=(1+\sqrt a)^2.  \dfrac{1}{(1+ \sqrt a)^2}=1=VP\).

b) Ta có:

\(VT=\dfrac{a+b}{b^{2}}\sqrt{\dfrac{a^{2}b^{4}}{a^{2}+2ab+b^{2}}}\)

      \(=\dfrac{a+b}{b^{2}}\sqrt{\dfrac{(ab^2)^2}{(a+b)^2}}\)

     \(=\dfrac{a+b}{b^{2}}\dfrac{\sqrt{(ab^2)^2}}{\sqrt{(a+b)^2}}\)

     \(=\dfrac{a+b}{b^{2}}\dfrac{|ab^2|}{|a+b|}\)

     \(=\dfrac{a+b}{b^{2}}.\dfrac{|a|b^2}{a+b}=|a|=VP\)

Vì \(a+b > 0 \Rightarrow |a+b|=a+b\).