Tìm cực trị đại số bằng phương pháp tổng bình phương - Có lời giải chi tiết.

Câu 1 : Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = 5{x^2} + 4xy + {y^2} - 8x - 2y + 15\) là:

A \(10\)

B \(11\)

C \(14\)

D \(17\)

Câu 2 : Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = 2{x^2} - 4xy + 4{y^2} - 4y + 7\) là:

A \(10\)

B \(5\)

C \(14\)

D \(4\)

Câu 3 : Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = - {x^2} + 6x + 16\) là:

A \(22\)

B \(25\)

C \(23\)

D \(24\)

Câu 4 : Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{{15{x^2} - 54x + 47}}{{{x^2} - 4x + 4}}\,\,\left( {x \ne 2} \right)\) là:

A \(22\)

B \(23\)

C \(24\)

D \(25\)

Câu 5 : Giá trị lớn nhất của biểu thức \(M = - 2\left( {{x^2} + {y^2} - x - y - xy + 5} \right)\) là:

A \( - 5\)

B \( - 6\)

C \( - 7\)

D \( - 8\)

Câu 6 : Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\) là:

A \( - 5\)

B \( - 1\)

C \(3\)

D \(0\)

Câu 7 : Giá trị nhỏ nhất của \(M = {x^2} - 15x - 6\sqrt {x + 1} + 75\) trên miền xác định là:

A \(0\)

B \(1\)

C \(2\)

D \(3\)

Câu 8 : Giáo viên ra một đề toán như sau: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = 2{x^2} + 2{y^2} - 2xy - 2x - 4y + 6.\)Dưới đây là cách làm của hai bạn khác nhau.Bạn A. Ta viết lại \(\begin{array}{l}M = 2{x^2} + 2{y^2} - 2xy - 2x - 4y + 6\\\,\,\,\,\,\, = \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} - 4y + 4} \right) + 1\\\,\,\,\,\,\, = {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + 1.\end{array}\)Do \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0,\,{\left( {y - 2} \right)^2} \ge 0\, \Rightarrow {\left( {x - y} \right)^2} + \,{\left( {x - 1} \right)^2} + \,{\left( {y - 2} \right)^2} + 1 \ge 0 + 0 + 0 + 1 = 1.\)Vậy giá trị nhỏ nhất của \(M\) là \(1.\)Bạn B. Ta viết lại \(\begin{array}{l}M = 2{x^2} + 2{y^2} - 2xy - 2x - 4y + 6\\\,\,\,\,\,\, = 2\left[ {{y^2} - 2.y.\frac{{x + 2}}{2} + {{\left( {\frac{{x + 2}}{2}} \right)}^2}} \right] + \left[ {2{x^2} - 2x + 6 - 2{{\left( {\frac{{x + 2}}{2}} \right)}^2}} \right]\\\,\,\,\,\,\, = 2{\left( {y - \frac{{x + 2}}{2}} \right)^2} + \left( {\frac{{3{x^2}}}{2} - 4x + 4} \right)\\\,\,\,\,\,\, = 2{\left( {y - \frac{{x + 2}}{2}} \right)^2} + \frac{3}{2}\left[ {{x^2} - 2.\frac{4}{3}x + {{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^2}} \right] + \frac{4}{3}\\\,\,\,\,\, = 2{\left( {y - \frac{{x + 2}}{2}} \right)^2} + \frac{3}{2}{\left( {x - \frac{4}{3}} \right)^2} + \frac{4}{3} \ge \frac{4}{3}.\end{array}\)Vậy giá trị nhỏ nhất của \(M\) là \(\frac{4}{3}\)

A Chỉ có bạn \(A\) giải đúng

B Chỉ có bạn \(B\) giải đúng

C Cả hai bạn đều giải đúng

D Cả hai bạn đều giải sai

Câu 9 : Giáo viên ra một đề toán như sau: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = {x^4} + 2{x^2} + 1.\)Dưới đây là cách làm của hai bạn khác nhau.Bạn Trang:Do \({x^4} = {\left( {{x^2}} \right)^2} \ge 0,\,\,{x^2} \ge 0 \Rightarrow {x^4} + 2{x^2} + 1 \ge 1.\)Vậy giá trị nhỏ nhất của \(M\) là \(1.\)Bạn Dũng:Ta có \(M = {x^4} + 2{x^2} + 1 = {\left( {{x^2} + 1} \right)^2} \ge 0.\)Vậy giá trị nhỏ nhất của \(M\) là \(0.\)

A Chỉ có bạn Trang giải đúng

B Chỉ có bạn Dũng giải đúng

C Cả hai bạn đều giải đúng

D Cả hai bạn đều giải sai

Câu 10 : Giá trị lớn nhất của biểu thức \(M = - {\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2}\) là:

A \(0\)

B \( - \frac{9}{{16}}\)

C \( - \frac{9}{{10}}\)

D \( - \frac{9}{7}\)

Câu 11 : Giá trị lớn nhất của biểu thức \(M = - {\left( {{x^2} + x + 2} \right)^2}\) đạt được tại

A \(x = 0\)

B \(x = - 1\)

C \(x = - \frac{1}{2}\)

D \(x = \frac{1}{2}\)

Câu 12 : Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = {x^2} + {\left( {x + 1} \right)^2}\) là:

A \(0\)

B \(1\)

C \(\frac{1}{2}\)

D \(\frac{3}{2}\)

Câu 13 : Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = 5{x^2} + 4xy + {y^2} - 8x - 2y + 18\) đạt được tại

A \(x = 2,y = - 3\)

B \(x = - 2,y = 3\)

C \(x = 2,y = 3\)

D \(x = - 2,y = - 3\)

Câu 14 : Giá trị lớn nhất của hàm số : \(y = f\left( x \right) = \frac{2}{{{x^2} - 5x + 10}}\) là:

A \(\frac{8}{{15}}\)

B \(\frac{{15}}{8}.\)

C \(2\)

D \(\frac{1}{2}\)

Câu 15 : Giá trị nhỏ nhất của \(y = f\left( x \right) = \frac{x}{3} + \frac{{12}}{x}\) với \(x > 0\) là:

A \(0\)

B \(2\)

C \(4\)

D \(8\)

Tìm cực trị đại số bằng phương pháp tổng bình phươ...