Giá trị lớn nhất của biểu thức \(M =  - {\left( {{...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi \(M\) có dạng \(M =  - {\left( {{A^2} + B} \right)^2}\) rồi suy ra GTLN của \(M\).

Giải chi tiết:

Ta có

\(M =  - {\left( {{x^2} + x + 2} \right)^2} =  - {\left[ {{x^2} + 2.\frac{1}{2}.x + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + \left( {2 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} \right)} \right]^2} =  - {\left[ {{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{7}{4}} \right]^2}.\)

Có \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} \ge \frac{7}{4} \Rightarrow {\left[ {{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{7}{4}} \right]^2} \ge {\left( {\frac{7}{4}} \right)^2} \Rightarrow  - {\left[ {{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{7}{4}} \right]^2} \le  - {\left( {\frac{7}{4}} \right)^2} =  - \frac{{49}}{{16}}.\)

Do đó \(M \le  - \frac{{49}}{{16}}\).  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{1}{2}.\)

Chọn đáp án C.