Giá trị lớn nhất của biểu thức   \(P = \frac{{15{x...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Nhận xét ở mẫu là \({\left( {x - 2} \right)^2}\) nên cần biến đổi tử thức làm cho xuất hiện \(x - 2\).

Chia cả tử và mẫu của phân thức thu được cho \(x - 2\) và đặt \(\frac{1}{{x - 2}} = t\) rồi tìm GTLN của biểu thức.

Giải chi tiết:

Viết lại \(P\) như sau

\(\begin{array}{l}P = \frac{{15{x^2} - 54x + 47}}{{{x^2} - 4x + 4}} = \frac{{15{x^2} - 54x + 47}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\\,\,\,\, = \frac{{15\left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + \left( {60x - 60 - 54x + 47} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\\,\,\,\, = \frac{{15{{\left( {x - 2} \right)}^2} + \left( {6x - 13} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\\,\,\,\, = \frac{{15{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 6\left( {x - 2} \right) - 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\\,\,\,\, = \frac{{15{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} + \frac{{6\left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} + \frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\\,\,\,\, = 15 + \frac{6}{{x - 2}} - \frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}.\end{array}\)

Đặt \(t = \frac{1}{{x - 2}}\) khi đó \(M =  - {t^2} + 6t + 15 =  - \left( {{t^2} - 6t + 9} \right) + 24 =  - {\left( {t - 3} \right)^2} + 24 \le 24,\forall t\).

Dấu bằng xảy ra khi \(t = 3 \Rightarrow \frac{1}{{x - 2}} = 3 \Leftrightarrow x = \frac{7}{3}\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là \(24\) khi \(x = \frac{7}{3}\).

Chọn đáp án C.