Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = 5{x^2} + 4xy...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi \(M = {A^2} + {B^2} + C\) rồi tìm GTNN của \(M\) và suy ra kết quả.

Giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}M = 5{x^2} + 4xy + {y^2} - 8x - 2y + 18\\\,\,\,\,\,\, = \left[ {{y^2} + 2y\left( {2x - 1} \right) + {{\left( {2x - 1} \right)}^2}} \right] + \left[ {5{x^2} - 8x + 18 - {{\left( {2x - 1} \right)}^2}} \right]\\\,\,\,\,\,\, = {\left( {y + 2x - 1} \right)^2} + \left[ {5{x^2} - 8x + 18 - \left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)} \right]\\\,\,\,\,\,\, = {\left( {y + 2x - 1} \right)^2} + \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + 13\\\,\,\,\,\,\, = {\left( {y + 2x - 1} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} + 13.\end{array}\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {y + 2x - 1} \right)^2} \ge 0\\{\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {y + 2x - 1} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow M = {\left( {y + 2x - 1} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} + 13 \ge 13.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}y + 2x - 1 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - \left( {2x - 1} \right)\\x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 3\end{array} \right..\)

Chọn đáp án A.