Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = x\left( {x +...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi biểu thức đã cho có dạng \(M = {A^2} + B\) rồi suy ra GTNN của \(M\).

Giải chi tiết:

Ta viết lại \(M\)   như sau

\(\begin{array}{l}M = x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\\\,\,\,\,\,\, = x\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\\\,\,\,\,\,\, = \left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\\\,\,\,\,\,\, = {\left( {{x^2} + 3x} \right)^2} + 2\left( {{x^2} + 3x} \right)\\\,\,\,\,\,\, = {\left( {{x^2} + 3x} \right)^2} + 2\left( {{x^2} + 3x} \right) + 1 - 1\\\,\,\,\,\,\, = {\left( {{x^2} + 3x + 1} \right)^2} - 1.\end{array}\)

Do \({\left( {{x^2} + 3x + 1} \right)^2} \ge 0\)   nên ta có \({\left( {{x^2} + 3x + 1} \right)^2} - 1 \ge  - 1,\,\,\forall x\) kéo theo \(M \ge  - 1.\)   Ta có:

\(\begin{array}{l}M =  - 1 \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2.\frac{3}{2}x + {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} + 1 - {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{3}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{3}{2} - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\\x =  - \frac{3}{2} + \frac{{\sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(M\)  là \( - 1\)

Chọn đáp án B.