Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M = 2{x^2} - 4xy...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi biểu thức đã cho thành dạng \(M = {A^2} + {B^2} + C\) rồi đánh giá tìm GTNN.

Giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}M = 2{x^2} - 4xy + 4{y^2} - 4y + 7\\\,\,\,\,\,\, = \left[ {4{y^2} - 4y\left( {x + 1} \right) + {{\left( {x + 1} \right)}^2}} \right] + \left[ {2{x^2} + 7 - {{\left( {x + 1} \right)}^2}} \right]\\\,\,\,\,\,\, = {\left( {2y - x - 1} \right)^2} + \left[ {2{x^2} + 7 - \left( {{x^2} + 2x + 1} \right)} \right]\\\,\,\,\,\,\, = {\left( {2y - x - 1} \right)^2} + \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 5\\\,\,\,\,\,\, = {\left( {2y - x - 1} \right)^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} + 5\end{array}\)

Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {2y - x - 1} \right)^2} \ge 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {2y - x - 1} \right)^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow M = {\left( {2y - x - 1} \right)^2} + {\left( {x - 1} \right)^2} + 5 \ge 5.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}2y - x - 1 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{x + 1}}{2}\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right..\)

Chọn đáp án B.