Giá trị lớn nhất của biểu thức \(M =  - 2\left( {{...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi \(M =  - {A^2} - {B^2} - {C^2} + D\) rồi suy ra GTLN của \(M\).

Giải chi tiết:

Ta viết lại \(M\) như sau

\(\begin{array}{l}M =  - 2\left( {{x^2} + {y^2} - x - y - xy + 5} \right)\\\,\,\,\,\,\, =  - \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - \left( {{y^2} - 2y + 1} \right) - 8\\\,\,\,\,\,\, =  - {\left( {x - y} \right)^2} - {\left( {x - 1} \right)^2} - {\left( {y - 1} \right)^2} - 8.\end{array}\)

Do \(\left\{ \begin{array}{l} - {\left( {x - y} \right)^2} \le 0,\,\,\forall x,y\\ - {\left( {x - 1} \right)^2} \le 0,\,\,\forall x\\- {\left( {y - 2} \right)^2} \le 0,\,\,\forall y\end{array} \right.\) nên ta suy ra:

\( - {\left( {x - y} \right)^2} - {\left( {x - 1} \right)^2} - {\left( {y - 1} \right)^2} \le 0,\,\forall x,y \Rightarrow  - {\left( {x - y} \right)^2} - {\left( {x - 1} \right)^2} - {\left( {y - 1} \right)^2} - 8 \le  - 8,\,\,\forall x,y.\)

Do đó \(M \le  - 8\).

Dấu bằng đạt được khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\x - 1 = 0\\y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1.\)

Chọn đáp án D.