Bài 7 trang 69 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân \(x\) của hai đoạn thẳng \(a,\ b\) (tức là \({x^2} = ab\) ) như trong hai hình sau:

Dựa vào các hệ thức (1) và (2), hãy chứng minh các cách vẽ trên là đúng.

Gợi ý: Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Hướng dẫn giải

+) Đặt tên các điểm và nối các điểm lại để xuất hiện tam giác.

+) Dùng dấu hiệu: "tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh đó là tam giác vuông" để chứng minh tam giác vuông.

+ Dùng các hệ thức sau để chứng minh \(x\) là trung bình nhân của \(a,\ b\):

         \(b^2=a.b',\ c^2=a.c'\)      \((1)\)

         \(h^2=b'.c'\)                       \((2)\)

+) Nêu các bước để vẽ được đoạn trung bình nhân.

Lời giải chi tiết

Cách 1: Đặt tên các đoạn thẳng như hình bên. 

Xét \(\Delta{ABC}\) có:

      \(OA = OB = OC = \dfrac{BC}{2} = R \)

Mà \(AO\) là trung tuyến ứng với cạnh \(BC\) của \(\Delta{ABC}\).

Suy ra \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\) ( tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền thì là tam giác vuông)

Xét \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Áp dụng hệ thức \(h^2=b'.c'\), ta được:

       \(AH^2=BH.CH \Leftrightarrow x^2=a.b\)

                                       \(\Leftrightarrow x=\sqrt {ab}\)

Vậy \(x\) là trung bình nhân của \(a\) và \(b\).

Cách vẽ: Bước \(1\): Đặt \(BH=a,\ CH=b\). Xác định trung điểm \(O\) của đoạn \(AB\). 

             Bước \(2\): Vẽ nửa đường tròn tâm \(O\) bán kính \(OB\). 

             Bước \(3\): Kẻ thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(BC\). Đường thẳng này cắt nửa đường tròn tại \(A\). 

             Bước \(4\): Nối \(A\) và \(H\) ta được \(AH=x\) là đoạn trung bình nhân của hai đoạn thẳng \(a,\ b\).

Cách 2: Vẽ và đặt tên như hình bên dưới

 Xét \(\Delta{ABC}\) có:

                \(OA = OB = OC = \dfrac{BC}{2} = R.\)

Mà \(AO\) là trung tuyến ứng với cạnh \(BC\) của \(\Delta{ABC}\).

Suy ra \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\) (tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bẳng nửa cạnh đó thì là tam giác vuông)

Xét \(\Delta{ABC}\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\).  Áp dụng hệ thức \(b^2=b'.a\), ta có:

                 \(AB^2 = BC.BH \Leftrightarrow x^2=a.b\)

                                                \(\Leftrightarrow x=\sqrt{ab}\)

Vậy \(x\) là trung bình nhân của \(a\) và \(b\).

Cách vẽ: Bước \(1\): Đặt \(BH=a,\ CH=b\). Xác định trung điểm \(O\) của đoạn \(BC\).

             Bước \(2\): Vẽ nửa đường tròn tâm \(O\) bán kính \(OB\). 

             Bước \(3\): Kẻ đường thẳng đi qua điểm \(H\). Đường thẳng này cắt nửa đường tròn tại \(A\). 

             Bước \(4\): Nối \(B\) và \(A\) ta được \(AB=x\) là đoạn trung bình nhân của hai đoạn thẳng \(a,\ b\).