Giải bài 9 trang 70 - Sách giáo khoa Toán 9 tập 1
Đề bài
Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng:
a) Tam giác DIL là một tam giác cân
b) Tổng
\( \frac{1}{DI^2}+\frac{1}{DK^2}\)
không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.
Hướng dẫn giải
Hướng dẫn:
a) Chứng minh \(\Delta ADI = \Delta CDL(g.c.g) \Rightarrow DI=DL \Rightarrow \Delta DIL\) cân .
b) Áp dụng hệ thức \( \frac{1}{h^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\) cho tam giác vuông DLK ta được :
\( \frac{1}{DC^2}=\frac{1}{DL^2}+\frac{1}{DK^2} \Rightarrow \frac{1}{DC^2}=\frac{1}{DI^2}+\frac{1}{DK^2}\)= không đổi.
Giải:
a) xét \(\Delta ADI\) và \(\Delta CDL\) có:
DA=DC( hai cạnh của hình vuông ABCD)
\(\widehat{ADI}=\widehat{CDL}\) ( cùng phụ \(\widehat{CDI}\)
do đó \(\Delta ADI = \Delta CDL(g.c.g) \Rightarrow DI=DL \)( Cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau)
\(\Rightarrow \Delta DIL\) cân.
b) Áp dụng hệ thức \( \frac{1}{h^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\) cho tam giác vuông DLK ta được:
\( \frac{1}{DC^2}=\frac{1}{DL^2}+\frac{1}{DK^2} \Rightarrow \frac{1}{DC^2}=\frac{1}{DI^2}+\frac{1}{DK^2}\) vì DC không đổi nên \( \frac{1}{DI^2}+\frac{1}{DK^2}\) không đổi.