Bài 41 trang 129 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho ba điểm \(A, O, B\) thẳng hàng theo thứ tự đó, \(OA = a, OB = b\) (\(a,b\) cùng đơn vị: cm).

Qua \(A\) và \(B\) vẽ theo thứ tự các tia \(Ax\) và \(By\) cùng vuông góc với \(AB\) và cùng phía với \(AB\). Qua \(O\) vẽ hai tia vuông góc với nhau và cắt \(Ax\) ở \(C\), \(By\) ở \(D\) (xem hình 116).

a) Chứng minh \(AOC\) và \(BDO\) là hai tam giác đồng dạng; từ đó suy ra tích \(AC.BD\) không đổi.

b) Tính diện tích hình thang \(ABDC\) khi \(\widehat {COA} = {60^0}\) 

c) Với \(\widehat {COA} = {60^0}\) cho hình vẽ quay xung quanh \(AB\). Hãy tính tỉ số tích các hình do các tam giác \(AOC\) và \(BOD\) tạo thành

Hướng dẫn giải

+) Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng.

+) Công thức tính diện tích hình thang có đáy lớn là \(a,\) đáy nhỏ là \(b\) và chiều cao \(h\) là: \(S = \frac{{\left( {a + b} \right)h}}{2}.\)

+) Thể tích hình nón: \( V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h.\)

Lời giải chi tiết

a) Xét hai tam giác vuông \(AOC\) và \(BDO\) ta có: \(\widehat A = \widehat B = {90^0}\) 

 \(\widehat {AOC} = \widehat {B{\rm{D}}O}\) (cùng phụ với \(\widehat{BOD}\)).

Vậy \(∆AOC\) đồng dạng \(∆BDO \, \, (g-g).\)

\( \Rightarrow {{AC} \over {AO}} = {{BO} \over {B{\rm{D}}}} \, \, hay \, \, {{AC} \over a} = {b \over {B{\rm{D}}}}.\) (1)

Vậy \(AC . BD = a . b \) không đổi.

b) Khi  thì tam giác \(AOC\) trở thành nửa tam giác đều cạnh là \(OC,\) chiều cao \(AC.\)

\(\Rightarrow OC = 2{\rm{A}}O = 2{\rm{a}} \Leftrightarrow AC = {{OC\sqrt 3 } \over 2} = a\sqrt 3.\)

Thay \(AC = a\sqrt{3}\) vào (1), ta có:

\({{AC} \over a} = {b \over {B{\rm{D}}}} \Rightarrow a\sqrt 3 .B{\rm{D}} = a.b \Rightarrow B{\rm{D}} = {{ab} \over {a\sqrt 3 }} = {{b\sqrt 3 } \over 3}.\) 

Ta có công thức tính diện tích hình thang \(ABCD\) là:

\(\eqalign{
& S = {{AC + B{\rm{D}}} \over 2}.AB = {{a\sqrt 3 + {{b\sqrt 3 } \over 3}} \over 2}.\left( {a + b} \right) \cr
& = {{\sqrt 3 } \over 6}\left( {3{{\rm{a}}^2} + 4{\rm{a}}b + {b^2}} \right)\left( {c{m^2}} \right) \cr} \)

c) Theo đề bài ta có:

Khi quay \(∆AOC\) quanh cạnh \(AB\) tạo nên hình nón có bán kính đáy là \(AC = a\sqrt{3}\) và chiều cao là \(AO = a.\)

Khi quay \(∆BOD\) quanh cạnh \(AB\) tạo nên hình nón có bán kính đáy là \(B{\rm{D}} = {{b\sqrt 3 } \over 3}\) và chiều cao \(OB = b.\)

Ta có: \({{{V_1}} \over {{V_2}}} = {{{1 \over 3}\pi .A{C^2}.AO} \over {{1 \over 3}\pi .B{{\rm{D}}^2}.OB}} = {{A{C^2}.AO} \over {B{{\rm{D}}^2}.OB}} = {{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}.a} \over {{{\left( {{{b\sqrt 3 } \over 3}} \right)}^2}.b}} = {{3{{\rm{a}}^3}} \over {{{{b^3}} \over 3}}} = {{9{{\rm{a}}^3}} \over {{b^3}}}\) 

Vậy  \({{{V_1}} \over {{V_2}}} = {{9{{\rm{a}}^3}} \over {{b^3}}}.\)