Bài 31 trang 19 SGK Toán 9 tập 1
Đề bài
a) So sánh \( \sqrt{25 - 16}\) và \(\sqrt {25} - \sqrt {16}\);
b) Chứng minh rằng: với \(a > b >0\) thì \(\sqrt a - \sqrt b < \sqrt {a - b} \).
Hướng dẫn giải
+) Định lí so sánh hai căn bậc hai số học của hai số không âm:
\( a< b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b\).
+) \( \sqrt{ a^2} = a\), với \( a \ge 0\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có:
+) \( \sqrt {25 - 16} = \sqrt 9 =\sqrt{3^2}= 3.\)
+) \( \sqrt {25} - \sqrt {16} = \sqrt{5^2}-\sqrt{4^2}=5 - 4 = 1 \).
Vì \(3>1 \Leftrightarrow \sqrt {25 - 16}>\sqrt {25} - \sqrt {16} \).
Vậy \(\sqrt {25 - 16} > \sqrt {25} - \sqrt {16} \)
b Theo bài \(26\), ta đã chứng minh được: Với \(a>0\) và \(b>0\) thì:
\( \sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}\).
Theo giải thiết, ta có
+) \(b>0 \)
+) \(a>b \Rightarrow a-b >0\)
Áp dụng bài \(26\) cho hai số \(a-b\) và \(b \), ta được:
\(\sqrt{(a-b) +b}< \sqrt{a-b}+\sqrt{b}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{a-b+b} < \sqrt{a-b} +\sqrt{b}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt{a-b}+\sqrt b\)
\(\Leftrightarrow \sqrt a - \sqrt b < \sqrt{a-b}\) (đpcm).