Bài 3 trang 100 SGK Toán 9 tập 1
Đề bài
Chứng minh các định lý sau:
a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.
b) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.
Hướng dẫn giải
Sử dụng tính chất:
a) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh đó.
b) Tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh đó thì là tam giác vuông.
Lời giải chi tiết
a) Xét tam giác ABC vuông tại A.
Gọi O là trung điểm của cạnh huyền BC, ta có:
OB=OC=BC2.
Lại có, ΔABC vuông tại A có AO là trung tuyến
⇒AO=BC2
Do vậy OA=OB=OC=BC2 nên ba điểm A, B, C cùng thuộc đường tròn tâm O bán kính OA. Hay tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC chính là trung điểm của cạnh huyền.
b)
Xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC.
Suy ra ba điểm A, B, C cùng nằm trên đường tròn (O)
⇒OA=OB=OC=R
Lại có BC là đường kính của (O)⇒OB=OB=BC2
⇒OA=OB=OC=BC2.
Vì O là trung điểm cạnh BC nên AO là đường trung tuyến ứng với cạnh BC.
Do đó tam giác ABC vuông tại A.
Nhận xét: Định lý trong bài tập này thường được dùng để giải nhiều bài tập về nhận biết tam giác vuông.