Bộ công thức về lũy thừa chính xác nhất và bài tập ứng dụng liên quan

Bộ công thức về lũy thừa chính xác nhất và bài tập ứng dụng liên quan

Lũy thừa là gì? Khái niệm lũy thừa cúng như các dạng bài toán liên quan là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Đại số của các em học sinh trung học phổ thông. Cùng chúng tôi tìm hiểu cụ thể về lũy thừa qua bài viết dưới đây nhé!

I. Định nghĩa

1. Lũy thừa bậc n của a là gì?

Lũy thừa là một phép toán hai ngôi của toán học thực hiện trên hai số a và n, kết quả của phép toán lũy thừa là tích số của phép nhân có n thừa số a nhân với nhau. Lũy thừa ký hiệu là \({\displaystyle a^{n}}\), đọc là lũy thừa bậc n của a hay a mũ n, số a gọi là cơ số, số n gọi là số mũ.

Tập xác định của hàm số lũy thừa:

Hàm số lũy thừa là các hàm số dạng \(y=x^α(α∈R)\). Các hàm số lũy thừa có tập xác định khác nhau, tùy theo α: 

• Nếu α nguyên dương thì tập các định là R.
• Nếu α nguyên âm hoặc α=0 thì tập các định là R\{0}.
• Nếu α không nguyên thì tập các định là \((0;+∞)\)

2. Tính chất cơ bản của lũy thừa

• \(a^n = a {\displaystyle \times } a {\displaystyle \times } a {\displaystyle \times }... {\displaystyle \times } a\) n chữ số a
• \({\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}={\frac {1}{a\times a\times a\times ...a}}}\)
• \(0^n = 0 (n > 0)\)
• \(1^n = 1\)
• \(a^0 = 1\)
• \(a^1 = a\)
• \({\displaystyle a^{-1}={\frac {1}{a}}}\)

3. Tính chất thường gặp

• \(a^{m + n} = a^m {\displaystyle \times } a^n\)
• \({\displaystyle a^{m-n}={\frac {a^{m}}{a^{n}}}}\) với mọi a ≠ 0
• \({\displaystyle a^{m\cdot n}=(a^{m})^{n}}\)
• \({\displaystyle a^{m^{n}}=a^{(m^{n})}}\)
• \({\displaystyle (a\times b)^{n}=a^{n}\times b^{n}}\)
• \({\displaystyle ({\frac {a}{b}})^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}\)
• \({\displaystyle a^{m/n}=\left(a^{m}\right)^{1/n}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}\)
• \( {\displaystyle a^{x}=e^{x\cdot \ln a}\,}\)
• \( {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\cdot \sin x}\)

Hot: Logarit đầy đủ và chi tiết nhất

II. Công thức lũy thừa

1. Chuyên đề về lũy thừa với số mũ tự nhiên

• Lũy thừa của 0 và 1

\({\displaystyle 0^{n}=0\,}\).(n > 0)

\({\displaystyle 1^{n}=1\,}\).

• Lũy thừa với số mũ dương

Trong trường hợp b = n là số nguyên dương, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:

\({\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\cdots \times a} _{n}}\)

Các tính chất quan trong nhất của lũy thừa với số mũ nguyên dương m, n là

\({\displaystyle a^{m+n}=a^{m}\times a^{n}} \)

\({\displaystyle a^{m-n}={\frac {a^{m}}{a^{n}}}}\) với mọi a ≠ 0

\({\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}}\)

\({\displaystyle a^{m^{n}}=a^{(m^{n})}}\)

\({\displaystyle (a\times b)^{n}=a^{n}\times b^{n}}\)

\({\displaystyle ({\frac {a}{b}})^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}\)

• Lũy thừa với số mũ 0

Lũy thừa với số mũ 0 của số a khác không được quy ước bằng 1: \({\displaystyle a^{0}=1}\)

Chứng minh: \({\displaystyle 1={\frac {a^{n}}{a^{n}}}=a^{n-n}=a^{0}}\)

2. Chuyên đề về lũy thừa của một số hữu tỉ

• Căn bậc n của một số thực dương

Một căn bậc n của số a là một số x sao cho \(x^n = a\).

Nếu a là số thực dương, n là số nguyên dương thì có đúng một số thực dương x sao cho xn = a.

Số x này được gọi là căn số học bậc n của a. Nó được ký hiệu là \(\sqrt[n]a\), trong đó \(\sqrt{}\)  là ký hiệu căn.

• Lũy thừa với số mũ hữu tỷ của số thực dương

Lũy thừa với số mũ hữu tỷ tối giản m/n (m, n là số nguyên, trong đó n dương), của số thực dương a được định nghĩa là

\({\displaystyle a^{\dfrac{m}{n}}=\left(a^{m}\right)^{\dfrac{1}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}\) định nghĩa này có thể mở rộng cho các số thực âm mỗi khi căn thức là có nghĩa.

3. Chuyên đề về lũy thừa với số mũ thực

• Cách tính lũy thừa của số e

Số e là hằng số toán học quan trọng, xấp xỉ 2.718 và là cơ số của logarit tự nhiên. Số e được định nghĩa qua giới hạn sau:

\({\displaystyle e=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}\)

Hàm e mũ, được định nghĩa bởi \({\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},}\) ở đây x được viết như số mũ vì nó thỏa mãn đẳng thức cơ bản của lũy thừa \({\displaystyle e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y}.}\)

Hàm e mũ xác định với tất cả các giá trị nguyên, hữu tỷ, thực và cả giá trị phức của x.

Có thể chứng minh ngắn gọn rằng hàm e mũ với x là số nguyên dương k chính là \(e^k\) như sau:

\({\displaystyle (e)^{k}=\left(\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right)^{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right)^{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}}\)

\({\displaystyle =\lim _{n\cdot k\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}=\lim _{m\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {k}{m}}\right)^{m}=e^{k}.}\)

Chứng minh này cũng chứng tỏ rằng \(e^{x+y}\) thỏa mãn đẳng thức lũy thừa khi x và y là các số nguyên dương. Kết quả này cũng có thể mở rộng cho tất cả các số không phải là số nguyên dương.

• Hàm lũy thừa với số mũ thực

Lũy thừa với số mũ thực cũng thường được định nghĩa bằng cách sử dụng logarit thay cho sử dụng giới hạn của các số hữu tỷ.

Logarit tự nhiên \({\displaystyle \ln {(x)}}\) là hàm ngược của hàm e-mũ \(e^x\). Theo đó \({\displaystyle \ln x}\) là số b sao cho \(x = e ^b\) .

Nếu a là số thực dương, x là số thực bất kỳ ta có a = e ln a nên nếu ax được định nghĩa nhờ hàm logarit tự nhiên thì ta cần phải có:

\({\displaystyle a^{x}=(e^{\ln a})^{x}=e^{x\cdot \ln a}.\,}\)

Điều này dẫn tới định nghĩa: \({\displaystyle a^{x}=e^{x\cdot \ln a}\,}\) với mọi số thực x và số thực dương a.

Xem ngay: 

• Bài 1. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
• Bài 2: Lũy thừa với mũ số thực
• Bài 6. Hàm số lũy thừa
• Và một số bài tập về lũy thừa lớp 6 Bài 7. Lũy thừa với số mũ tự nhiên. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số. để ghi nhớ kiến thức công thức lũy thừa lớp 6, phần cơ bản.

IV. Bài tập tìm tập xác định của hàm số lũy thừa

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \(y=\sqrt{5x-2x^2-2}+ln\dfrac{1}{x^2-1}\)

Điều kiện: \(\left\{\begin{array}{cc}-2x^2+5x-1\ge0\\x^2-1>0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{cc}\dfrac{1}{2}\le x \le 2\\x<-1 \ hoặc \ x>1\end{array}\right. \Leftrightarrow 1<x\le 2\\Vậy \ D=(1;2]\)

b) \(y=\sqrt{x^2-4x+3}log_2(25-4x^2)\)

Điều kiện: \(\left\{\begin{array}{cc}0<2x+1\neq 1\\0<3x+1\neq 1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{cc}x\ge \dfrac{-1}{3}\\x\neq 0\end{array}\right.\\ Vậy \ D=[\dfrac{-1}{3};+\infty) \ trừ \ {0}\).

Trên đây là toàn bộ những công thức lũy thừa cần thiết để giúp bạn hoàn thành tốt những phần bài tập liên quan. Đây là một phần kiến thức nền tảng và gây không ít khó khăn cho các bạn học sinh, chính vì vậy chúng tôi hy vọng bài viết sẽ giúp ích các bạn trong suốt quá trình học tập của mình. Chúc các bạn đạt được điểm số cao!