Bài 19 trang 16 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Biết rằng: Đa thức $P(x)$ chia hết cho đa thức $x - a$ khi và chỉ khi $P(a) = 0$.

Hãy tìm các giá trị của $m$ và $n$ sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho $x + 1$ và  $x - 3$:

$P(x) = m{x^3} + (m - 2){x^2} - (3n - 5)x - 4n$

Hướng dẫn giải

 Sử dụng tính chất: 

+) $P(x)$ chia hết cho $(x - a)$ khi và chỉ khi $P(a) = 0$

+) $P(x)$ chia hết cho $(x+a)$ khi và chỉ khi $P(-a)=0$.

+) Thay các giá trị nghiệm vào đa thức $P(x)$, ta thu được các phương trình bậc nhất hai ẩn. Lập hệ và giải hệ đó.

Lời giải chi tiết

+) Ta có: $P(x)$ chia hết cho $x + 1 \Leftrightarrow P(-1)=0$

$\Leftrightarrow m.(-1)^3 + (m - 2).(-1)^2 - (3n - 5).(-1)$

$- 4n=0$

$\Leftrightarrow -m + m - 2 + 3n - 5 - 4n = 0$

$\Leftrightarrow -n-7=0$  

$\Leftrightarrow n+7=0.$

+) Lại có: $P(x)$ chia hết cho $x - 3 \Leftrightarrow P(3)=0$

$\Leftrightarrow m.3^3 + (m - 2).3^2 - (3n - 5).3 - 4n=0$

$\Leftrightarrow  27m + 9(m - 2) - 3(3n - 5) - 4n = 0$

$\Leftrightarrow  27m + 9m - 18 - 9n + 15 - 4n = 0$

$\Leftrightarrow  36m-13n=3$  (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình ẩn $m$ và $n$.

$\left\{\begin{matrix}  n+7 = 0 & & \\ 36m - 13n = 3 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} n = -7 & & \\ 36m -13.(-7)= 3 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} n = -7 & & \\ 36m = -88 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} n = -7& & \\ m = \dfrac{-22}{9}& & \end{matrix}\right.$

Vậy $m=\dfrac{-22}{9},\ n=-7$.