Bài 19 trang 16 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Biết rằng: Đa thức \(P(x)\) chia hết cho đa thức \(x - a\) khi và chỉ khi \(P(a) = 0\).

Hãy tìm các giá trị của \(m\) và \(n\) sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho \(x + 1\) và  \(x - 3\):

\(P(x) = m{x^3} + (m - 2){x^2} - (3n - 5)x - 4n\)

Hướng dẫn giải

 Sử dụng tính chất: 

+) \(P(x)\) chia hết cho \((x - a)\) khi và chỉ khi \(P(a) = 0\)

+) \(P(x)\) chia hết cho \((x+a)\) khi và chỉ khi \(P(-a)=0\).

+) Thay các giá trị nghiệm vào đa thức \(P(x)\), ta thu được các phương trình bậc nhất hai ẩn. Lập hệ và giải hệ đó.

Lời giải chi tiết

+) Ta có: \(P(x)\) chia hết cho \(x + 1 \Leftrightarrow P(-1)=0\)

\(\Leftrightarrow m.(-1)^3 + (m - 2).(-1)^2 - (3n - 5).(-1)\)

\(- 4n=0 \)

\( \Leftrightarrow -m + m - 2 + 3n - 5 - 4n = 0\)

\(\Leftrightarrow -n-7=0\)  

\( \Leftrightarrow n+7=0.\)

+) Lại có: \(P(x)\) chia hết cho \(x - 3 \Leftrightarrow P(3)=0\)

\(\Leftrightarrow m.3^3 + (m - 2).3^2 - (3n - 5).3 - 4n=0 \)

\(\Leftrightarrow  27m + 9(m - 2) - 3(3n - 5) - 4n = 0\)

\(\Leftrightarrow  27m + 9m - 18 - 9n + 15 - 4n = 0\)

\(\Leftrightarrow  36m-13n=3\)  (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình ẩn \(m\) và \(n\).

\(\left\{\begin{matrix}  n+7 = 0 & & \\ 36m - 13n = 3 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} n = -7 & & \\ 36m -13.(-7)= 3 & & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} n = -7 & & \\ 36m = -88 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} n = -7& & \\ m = \dfrac{-22}{9}& & \end{matrix}\right.\)

Vậy \(m=\dfrac{-22}{9},\ n=-7\).