Bài 17 trang 16 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế.

a) \(\left\{\begin{matrix} x\sqrt{2}- y \sqrt{3}=1 & & \\ x + y\sqrt{3} = \sqrt{2}& & \end{matrix}\right.\);                 

b) \(\left\{\begin{matrix} x - 2\sqrt{2} y = \sqrt{5}& & \\ x\sqrt{2} + y = 1 - \sqrt{10}& & \end{matrix}\right.\)

c) \(\left\{\begin{matrix} (\sqrt{2}- 1)x - y = \sqrt{2}& & \\ x + (\sqrt{2}+ 1)y = 1& & \end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

Cho hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} ax +by =c \ (1) & & \\ a'x+b'y=c' \ (2)  & & \end{matrix}\right.\)

+) Từ phương trình (1), rút \(x\) theo \(y\)   (nếu \(a \ne 0\)), ta được: \(x=\dfrac{c-by}{a}\) (Hoặc có thể rút \(y\) theo \(x\) nếu \(b \ne 0\)).

+) Thế biểu thức vừa tìm được vào phương trình (2) ta được phương trình bậc nhất một ẩn \(y\). Giải phương trình này tìm \(y\).

+) Thế \(y\) vào phương trình (1) tìm được \(x\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\left\{ \matrix{
x\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1 \hfill \cr
x + y\sqrt 3 = \sqrt 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1 \hfill \cr
x = \sqrt 2 - y\sqrt 3 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left( {y\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1 \ (1) \hfill \cr
x = \sqrt 2  - y\sqrt 3 \ (2) \hfill \cr}  \right.\)

Giải phương trình \((1)\), ta được:

\(( \sqrt 2 - y\sqrt 3)\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1\)

\( \Leftrightarrow (\sqrt 2)^2  - y\sqrt 3 . \sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1 \)

\( \Leftrightarrow 2 - y\sqrt 3 . \sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1 \)

\( \Leftrightarrow -y\sqrt 3. \sqrt 2  - y\sqrt 3 = 1 - 2\)

\( \Leftrightarrow -y\sqrt 3 (\sqrt 2 +1)  = -1 \)

\( \Leftrightarrow y=\dfrac{1}{\sqrt 3(\sqrt 2 +1)}=\dfrac{\sqrt 3 (\sqrt 2 -1)}{(\sqrt 3)^2(\sqrt 2 +1)(\sqrt 2 -1)}\)

\( \Leftrightarrow y= \dfrac{\sqrt 3 (\sqrt 2 -1)}{3}\)

Thay \(y\) tìm được vào phương trình \((2)\), ta được:

\(x = \sqrt 2  - \dfrac{\sqrt 3 (\sqrt 2 -1)}{3}.\sqrt 3\)

\( \Leftrightarrow  x=\sqrt 2  - \dfrac{\sqrt 3 .\sqrt 3(\sqrt 2 -1)}{3} \)

\(\Leftrightarrow x=\sqrt 2  - \dfrac{ 3(\sqrt 2 -1)}{3} =\sqrt 2  - (\sqrt 2 -1) \)

\(\Leftrightarrow x=\sqrt 2 -\sqrt 2 +1=1.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: \( {\left( 1;\dfrac{\sqrt 3 (\sqrt 2 -1)}{3} \right)}\)

b)  Ta có:

\(\left\{ \matrix{
x - 2\sqrt 2 y = \sqrt 5 \hfill \cr
x\sqrt 2 + y = 1 - \sqrt {10} \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 2\sqrt 2 y + \sqrt 5 \ (1)  \hfill \cr
\left( {2\sqrt 2 y + \sqrt 5 } \right).\sqrt 2 + y = 1 - \sqrt {10}\ (2)  \hfill \cr}  \right.\)

Giải phương trình \((2)\), ta được:

\(\left( {2\sqrt 2 y + \sqrt 5 } \right).\sqrt 2 + y = 1 - \sqrt {10}\)

\(\Leftrightarrow 2(\sqrt 2 .\sqrt 2)y + \sqrt 5 .\sqrt 2 + y = 1 - \sqrt {10}\)

\(\Leftrightarrow 4y + \sqrt{10}+y=1- \sqrt{10}\)

\(\Leftrightarrow 4y +y=1- \sqrt{10}- \sqrt{10} \)

\(\Leftrightarrow 5y=1-2 \sqrt{10}\)

\(\Leftrightarrow y=\dfrac{1-2 \sqrt{10}}{5}\)

Thay \(y=\dfrac{1-2 \sqrt{10}}{5}\) vào \((1)\), ta được:

\(x = 2\sqrt 2 .\dfrac{1-2 \sqrt{10}}{5} + \sqrt 5= \dfrac{2\sqrt 2 -4 \sqrt{20}}{5} + \sqrt 5\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{2\sqrt 2 -4 .2\sqrt{5}}{5} + \sqrt 5=\dfrac{2\sqrt 2 -8\sqrt{5}+ 5\sqrt 5}{5}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{2 \sqrt 2 -3 \sqrt 5}{5}\)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là: \((x; y)\) = \({\left(\dfrac{2\sqrt{2} - 3\sqrt{5}}{5};\dfrac{1 - 2\sqrt{10}}{5}\right)}\);

c) Ta có:

\(\left\{ \matrix{
\left( {\sqrt 2 - 1} \right)x - y = \sqrt 2 \hfill \cr
x + \left( {\sqrt 2 + 1} \right)y = 1 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
y =  \left( {\sqrt 2 - 1} \right)x  - \sqrt 2 \ (1) \hfill \cr
x + \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left[ {\sqrt 2 - \left( {\sqrt 2 - 1} \right)x} \right] = 1 \ (2) \hfill \cr} \right.\)

Giải phương trình \((2)\), ta được:

\(x + \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left[ { \left( {\sqrt 2 - 1} \right)x} -\sqrt 2 \right] = 1\)

\(\Leftrightarrow  x +  (\sqrt 2 + 1) (\sqrt 2 - 1)x -( \sqrt 2 + 1). \sqrt 2   = 1\)

\(\Leftrightarrow  x +  {\left((\sqrt 2)^2 - 1^2 \right)}x-( 2 + \sqrt 2)  = 1\)

\(\Leftrightarrow x + x  = 1+( 2 + \sqrt 2)\)

\(\Leftrightarrow 2x =3 +\sqrt 2\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3+ \sqrt 2}{2}\)

Thay \(x=\dfrac{3+ \sqrt 2}{2}\) vào \((1)\), ta được:

\(y =  \left( {\sqrt 2 - 1} \right).\dfrac{3+ \sqrt 2}{2}  - \sqrt 2\)

\( \Leftrightarrow y= \dfrac{(\sqrt 2 - 1 )(3+ \sqrt 2)}{2}  - \sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow y= \dfrac{3\sqrt 2 -3 +2 -\sqrt 2}{2}  - \sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow y= \dfrac{2\sqrt 2 -1}{2}  - \sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow y= \dfrac{2\sqrt 2 -1-2\sqrt 2}{2}  \)

\( \Leftrightarrow y= \dfrac{-1}{2}  \)

Vậy hệ có nghiệm \((x; y) = {\left(\dfrac{3 + \sqrt{2}}{2};\dfrac{-1}{2} \right)}\)