Bài 14 trang 48 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hàm số bậc nhất \(y = (1 - \sqrt{5}) x - 1\).

a) Hàm số trên là đồng biến hay nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) ? Vì sao ?

b) Tính giá trị của \(y\) khi \(x = 1 + \sqrt{5}\);

c) Tính giá trị của \(x\) khi \(y=\sqrt{5}\).

Hướng dẫn giải

a) +) Hàm số bậc nhất \(y=ax+b\) xác định với mọi giá trị của \(x\) trên \(\mathbb{R}\)

  -  Đồng biến trên \(\mathbb{R}\)  khi \( a > 0\).

  -  Nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)  khi \(a < 0\).

+) Sử dụng định lí so sánh hai căn bậc hai số học của hai số không âm:

            \(a < b \Leftrightarrow  \sqrt a < \sqrt b,\)  với \(a,\ b \ge 0\).

b) +) Thay \(x_0\) vào công thức hàm số \(y=ax+b\) tính được giá trị của hàm số: \(y_0=ax_0+b\).

     +) Sử dụng hằng đẳng thức: \(  a^2-b^2=(a-b)(a+b).\)

c) +) Thay \(x_0\) vào công thức hàm số \(y=ax+b\) tính được giá trị của hàm số: \(y_0=ax_0+b\).

     +) Sử dụng hằng đẳng thức:

            \( (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).

            \(  a^2-b^2=(a-b)(a+b).\)

+) Sử dụng công thức trục căn thức ở mẫu:

        \(\dfrac{C}{\sqrt A \pm B}=\dfrac{C(\sqrt A \mp B)}{A - B^2}\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: 

\(1 < 5 \Leftrightarrow \sqrt 1<\sqrt{5}\)

            \(\Leftrightarrow 1<\sqrt{5}\)

            \(\Leftrightarrow 1-\sqrt{5}<0\)

Vậy hàm số \(y = (1 - \sqrt{5}) x - 1\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) (vì hệ số \(a\) âm).

b) 

Thay \(x = 1 + \sqrt{5}\) vào công thức của hàm số đã cho, ta được:

           \( y=(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})-1\)

       \(\Leftrightarrow y= [1^2 -(\sqrt 5)^2]-1\)

      \(\Leftrightarrow y= (1-5)-1\)

      \(\Leftrightarrow y= -4-1\)

      \(\Leftrightarrow y= -5\)

Vậy \(x = 1 + \sqrt{5}\) thì \(y= -5\).

c) Ta có:

Thay \(y=\sqrt{5}\) vào công thức của hàm số, ta được:

\(\sqrt{5}=(1-\sqrt{5})x-1 \)

\(\Leftrightarrow (1-\sqrt 5)x=\sqrt 5 +1\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt 5 +1}{1-\sqrt 5}\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{(\sqrt 5 +1)(\sqrt 5 +1)}{(1-\sqrt 5)(\sqrt 5 +1)}\)

\(\Leftrightarrow x = \dfrac{(\sqrt 5 +1)^2}{(\sqrt 5)^2-1^2}\)

\(\Leftrightarrow x = \dfrac{(\sqrt 5)^2+2\sqrt 5 +1}{5-1}\)

\(\Leftrightarrow x = \dfrac{ 5+2\sqrt 5 +1}{4}\)

\(\Leftrightarrow x = \dfrac{ 6+2\sqrt 5 }{4}\)

\(\Leftrightarrow x = \dfrac{ 2(3+\sqrt 5)}{2.2}\)

\(\Leftrightarrow x = \dfrac{ 3+\sqrt 5 }{2}\)

Vậy \(y=\sqrt 5\) thì \(x=\dfrac{3+\sqrt 5}{2}\).