Bài 1: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức - Toán lớp 10 Nâng cao

Tổng hợp các bài giải bài tập trong Bài 1: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức được biên soạn bám sát theo chương trình Đào tạo của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Các em cùng theo dõi nhé!

Câu 1 trang 109 SGK Đại số 10 nâng cao

Ta có: {1 over a} < {1 over b} Leftrightarrow {1 over b} {1 over a} > 0 Leftrightarrow {{a b} over {ab}} > 0 đúng vì a – b > 0 và ab > 0 Vậy {1 over a} < {1 over b}

Câu 10 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao

a Với x ≥ y ≥ 0 , ta có: eqalign{ & {x over {1 + x}} ge {y over {1 + y}} Leftrightarrow x1 + y ge y1 + x cr & Leftrightarrow x + xy ge y + xy Leftrightarrow x ge y cr} Điều này đúng với giả thiết. Vậy ta được điều cần phải chứng minh. b Vì |a – b| ≥ |a| + |b| nên theo câu a ta có

Câu 11 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao

a Nếu a, b là hai số cùng dấu thì {a over b},;,{b over a} là hai số dương nên: {a over b} + {b over a} ge 2sqrt {{a over b}.{b over a}} = 2 theo bất đẳng thức Côsi b Nếu a, b là hai số trái dấu thì: {a over b} + {b over a} ge 2 Leftrightarrow {a over b} + {b over a} le 2

Câu 12 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao

Vì 3 ≤ x ≤ 5 nên x + 3 ≥ 0 và 5 – x ≥ 0 Hai số không âm nên x + 3 và 5 – x có tổng là: x + 3 + 5 – x = 8 không đổi Do đó: fx đạt giá trị lớn nhất khi x + 3 = 5 – x ⇔ x = 1 Vậy với x = 1, fx đạt giá trị lớn nhất bằng 16. Vì fx ≥ 0 nên giá trị nhỏ nhất của fx = 0 khi x = 3 hoặc x

Câu 13 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao

Vì x > 1 nên x – 1 và {2 over {x 1}} là hai số dương. Do đó: fx = x + {2 over {x + 1}} = 1 + x 1 + {2 over {x 1}} ge 1 + 2sqrt {x 1{2 over {x 1}}} = 1 + 2sqrt 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 1 = {2 over {x 1}} Leftrightarrow x = 1 + sqrt 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của fx là

Câu 14 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có: {{{a^4}} over b} + {{{b^4}} over c} + {{{c^4}} over a} ge 3root 3 of {{{{a^4}} over b}.{{{b^4}} over c}.{{{c^4}} over a}} = 3abc Dấu “=”xảy ra Leftrightarrow {{{a^4}} over b} = {{{b^4}} over c} = {{{c^4}} over a} Leftrightarrow a =

Câu 15 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao

Gọi a và b theo thứ tự là độ dài cánh tay đòn bên phải và bên trái của cái cân đĩa a > 0; b > 0; đơn vị: cm Trong lần cân đầu, khối lượng cam được cân là {a over b} kg Trong lần cân thứ hai, khối lượng cam được cân là {b over a} kg Do đó, khối lượng cam được cân cả hai lần là {a over b} + {b

Câu 16 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao

a Ta có: {1 over {kk + 1}} = {{k + 1 k} over {kk + 1}} = {1 over k} {1 over {k + 1}},,,forall k ge 1 Do đó: eqalign{ & {1 over {1.2}} + {1 over {2.3}} + {1 over {3.4}} + ...., + {1 over {nn + 1}} cr&= 1 {1 over 2} + {1 over 2} {1 over 3} + ... + {1 over n} {1 over {n + 1

Câu 17 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao

Điều kiện: 1 ≤ x ≤ 4 Với 1 ≤ x ≤ 4, ta có: {A^2} = {sqrt {x 1} + sqrt {4 x} ^2} = 3 + 2sqrt {x 14 x} le 3 + x 1 + 4 x = 6 Theo bất đẳng thức Côsi Suy ra: A le sqrt 6 Dấu “=” xảuy ra khi x – 1= 4 – x Rightarrow x = {5 over 2} thỏa mãn điều kiện : 1 ≤ x ≤ 4 Vậy g

Câu 18 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao

Ta có: a + b + c2 ≤ 3a2 + b2 + c2 ⇔ a2 + b2 + c2 +2ab + 2bc + 2ca ≤ 3a2 + 3b2 + 3c2 ⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 2ab 2bc 2ca ≥ 0 ⇔ a – b2 + b – c2 + c – a2 ≥ 0 luôn đúng Vậy a + b + c2 ≤ 3a2 + b2 + c2

Câu 19 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao

Theo bất đẳng thức Côsi, ta có: eqalign{ & {{{a + b + c + d} over 4}} cr&= {1 over 2}{{a + b} over 2} + {{c + d} over 2} ge {1 over 2}sqrt {ab} + sqrt {cd} cr& ge sqrt {sqrt {ab} .sqrt {cd} } = root 4 of {abcd} cr} Bất đẳng thức cô si ⇒ {left{{a + b + c + d} over 4}right^4}

Câu 2 trang 109 SGK Đại số 10 nâng cao

Gọi a, b, c là ba cạnh của một tam giác Nửa chu vi của tam giác đó là p = {{a + b + c} over 2} Ta có: p a = {{a + b + c 2a} over 2} = {{b + c a} over 2} Vì b + c > a nên p > a Chứng minh tương tự, ta có: p > b và p > c

Câu 20 trang 112 SGK Đại số 10 nâng cao

a Ta có: x + y2 = x2 + y2 + 2xy ≤ x2 + y2 + x2 + y2 = 2 ⇒ |x + y|,, le sqrt 2 b Vì 4x – 3y = 15 Rightarrow y = {4 over 3}x 5 Do đó: eqalign{ & {x^2} + {y^2} = {x^2} + {{4 over 3}x 5^2} cr&= {x^2} + {{16} over 9}{x^2} {{40} over 3}x + 25 cr & ={{25} over 9}{x^2} {{40} over 3}

Câu 3 trang 109 SGK Đại số 10 nâng cao

Ta có: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca ⇔ a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca ≥ 0 ⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 2ab 2bc 2ca ≥ 0 ⇔ a b2 + b c2 + c a2 ≥ 0 luôn đúng Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a – b = b – c = c – a = 0, tức là a = b = c

Câu 4 trang 109 SGK Đại số 10 nâng cao

a Giả sử: sqrt {2000} + sqrt {2005} , < sqrt {2002} + sqrt {2003} ,,,,,1 Ta có: eqalign{ & 1 Leftrightarrow ,{sqrt {2000} + sqrt {2005} ^2}, < {sqrt {2002} + sqrt {2003} ,^2} cr & Leftrightarrow 4005 + 2sqrt {2000.2005} < 4005 + 2sqrt {2002.2003} cr & Leftrightarrow 20

Câu 5 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao

Với a > 0, b > 0, ta có: eqalign{ & {1 over a} + {1 over b} ge {4 over {a + b}} Leftrightarrow {{a + b} over {ab}} ge {4 over {a + b}} cr&Leftrightarrow {a + b^2} ge 4ab cr & Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} ge 4ab Leftrightarrow {a b^2} ge 0 cr} Ta thấy điều này luôn đúng

Câu 6 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao

Ta có: a3 + b3 ≥ aba + b ⇔ a + ba2 ab + b2 – aba + b ≥ 0 ⇔ a + ba b2 ≥ 0 luôn đúng Dấu bằng xảy ra khi a = b

Câu 7 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao

a Ta có: eqalign{ & {a^2} + ab + {b^2} ge 0 Leftrightarrow {a^2} + 2a{b over 2} + {{{b^2}} over 4} + {{3{b^2}} over 4} ge 0 cr & Leftrightarrow {a + {b over 2}^2} + {{3{b^2}} over 4} ge 0 cr} Ta thấy điều trên luôn đúng. b Ta có: eqalign{ & {a^4} + {b^4} ge {rm{ }}{a^3}b + a{b^3}

Câu 8 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao

eqalign{ & a < b + c Rightarrow {a^2} < aleft {b + c} right Rightarrow {a^2} < ab + ac,,,1 cr & b < a + c Rightarrow {b^2} < ba + bc,,2 cr & c < a + b Rightarrow {c^2} < ca + cb,,,3 cr & cr} Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức 1, 2, 3 ta được: {a^2} + {b^2} + {c^2} < 2left {a

Câu 9 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao

Ta có: eqalign{ & {{a + b} over 2}.{{{a^2} + {b^2}} over 2} le {{{a^3} + {b^3}} over 2}cr& Leftrightarrow {a^3} + a{b^2} + {a^2}b + {b^3} le 2{a^3} + 2{b^3} cr & Leftrightarrow {a^3} a{b^2} {a^2}b + {b^3} ge 0 cr & Leftrightarrow a b{a^2} {b^2} ge 0 cr & Leftrightarrow {a b^2}a

Trên đây là hệ thống lời giải các bài tập trong Bài 1: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức - Toán lớp 10 Nâng cao đầy đủ và chi tiết nhất.
Nếu thấy hay, hãy chia sẻ và ủng hộ nhé!

Bài liên quan

↑