Câu 4 trang 223 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

a. \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = {3 \over 4}\)

b. \({\sin ^2}2x - {\sin ^2}x = {\sin ^2}{\pi  \over 4}\)

c. \(\cos x\cos 2x = \cos 3x\)

d. \(\tan 2x - \sin 2x + \cos 2x - 1 = 0\)

Giải:

a.

\(\eqalign{  & {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = {3 \over 4}  \cr  &  \Leftrightarrow 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = {3 \over 4}  \cr  &  \Leftrightarrow 1 - {1 \over 2}{\sin ^2}2x = {3 \over 4}  \cr  &  \Leftrightarrow {\sin ^2}2x = {1 \over 2} \Leftrightarrow {{1 - \cos 4x} \over 2} = {1 \over 2}  \cr  &  \Leftrightarrow \cos 4x = 0 \Leftrightarrow x = {\pi  \over 8} + k{\pi  \over 4},k \in\mathbb Z \cr} \)

b.

\(\eqalign{  & {\sin ^2}2x - {\sin ^2}x = {\sin ^2}{\pi  \over 4}  \cr  &  \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x{\cos ^2}x - {\sin ^2}x = {1 \over 2}  \cr  &  \Leftrightarrow 8{\sin ^2}x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) - 2{\sin ^2}x = 1  \cr  &  \Leftrightarrow 8{\sin ^4}x - 6{\sin ^2}x + 1 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {{{\sin }^2}x = {1 \over 2}}  \cr   {{{\sin }^2}x = {1 \over 4}}  \cr  } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {{{1 - \cos 2x} \over 2} = {1 \over 2}}  \cr   {{{1 - \cos 2x} \over 2} = {1 \over 4}}  \cr  } } \right.  \cr  &  \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {\cos 2x = 0}  \cr   {\cos 2x = {1 \over 2}}  \cr  } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {x = {\pi  \over 4} + k{\pi  \over 2}}  \cr   {x = {\pi  \over 6} + k{\pi  \over 2}}  \cr  } } \right. \cr} \)

c.

\(\eqalign{  & \cos x\cos 2x = \cos 3x  \cr  &  \Leftrightarrow {1 \over 2}\left( {\cos 3x + \cos x} \right) = \cos 3x  \cr  &  \Leftrightarrow \cos 3x = \cos x  \cr  &  \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {3x = x + k2\pi }  \cr   {3x =  - x + k2\pi }  \cr  } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {x = k\pi }  \cr   {x = k{\pi  \over 2}}  \cr  } } \right.\cr& \Leftrightarrow x = k{\pi  \over 2},k \in\mathbb Z \cr} \)

d. Điều kiên: \(\cos 2x \ne0\)

\(\eqalign{  & \tan 2x - \sin 2x + \cos 2x - 1 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow \tan 2x\left( {1 - \cos 2x} \right) - \left( {1 - \cos 2x} \right) = 0  \cr  &  \Leftrightarrow \left( {1 - \cos 2x} \right)\left( {\tan 2x - 1} \right) = 0  \cr  &  \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {\tan 2x = 1}  \cr   {\cos 2x = 1}  \cr  } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{   {x = {\pi  \over 8} + k{\pi  \over 2}}  \cr   {x = k\pi }  \cr  } } \right. k \in\mathbb Z  \cr} \)