Câu 3 trang 223 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\left( x \right) = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^3}\)

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q\left( x \right) = {1 \over {{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}\)

c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(R\left( x \right) = P\left( x \right) + Q\left( x \right)\)

Hướng dẫn giải

a. \(P\left( x \right) = 2\sqrt 2 {\cos ^3}\left( {x - {\pi  \over 4}} \right) \ge  - 2\sqrt 2 \) (đẳng thức xảy ra khi \(x =  - {{3\pi } \over 4}+k2\pi\) )

Vậy \(\min P\left( x \right) =  - 2\sqrt 2 \)

b. \(Q\left( x \right) = {4 \over {{{\sin }^2}2x}} \ge 4\) (đẳng thức xảy ra, chẳng hạn khi \(x =  \pm {{3\pi } \over 4}\) )

Vậy min Q(x) = 4

c. \(R\left( x \right) = P\left( x \right) + Q\left( x \right) \ge 4 - 2\sqrt 2 \) (đẳng thức xảy ra, chẳng hạn khi \(x =  - {{3\pi } \over 4}\)

Vậy \({\mathop{\rm min\,R}\nolimits} \left( x \right) = 4 - 2\sqrt 2 \)