Câu 12 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Cho dãy số (u_n) xác định bởi

\({u_1} = 3\,\text{ và }\,{u_n} = 4{u_{n - 1}} - 1\) với mọi n ≥ 2

Chứng minh rằng :

a. \({u_n} = {{{2^{2n + 1}} + 1} \over 3}\)  (1)  với mọi số nguyên  n ≥ 1

b. (u­_n) là môt dãy số tăng.

Hướng dẫn giải

a. Với n = 1 ta có \({u_1} = 3 = {{{2^3} + 1} \over 3}\)

(1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n = k tức là ta có : \({u_k} = {{{2^{2k + 1}} + 1} \over 3}\)

Với n = k + 1 ta có :

\(\eqalign{  & {u_{k + 1}} = 4{u_k} - 1 = 4.{{{2^{2k + 1}} + 1} \over 3} - 1 = {{4\left( {{2^{2k + 1}} + 1} \right) - 3} \over 3}  \cr  &  = {{{2^{2k + 3}} + 1} \over 3} = {{{2^{2\left( {k + 1} \right)+1}} + 1} \over 3} \cr} \)

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với ∀ n ≥ 1

b. Ta có:

\(\eqalign{  & {u_{n + 1}} - {u_n} = {{{2^{2n + 3}} + 1} \over 3} - {{{2^{2n + 1}} + 1} \over 3} = {{{2^{2n + 1}}\left( {{2^2} - 1} \right)} \over 3}  \cr  &  = {2^{2n + 1}} > 0 \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n} \cr} \)

⇒ (u_n) là dãy số tăng.