Bài 7 trang 80 SGK Hình học 12

Đề bài

Lập phương trình mặt phẳng \(( α)\) đi qua hai điểm \(A( 1; 0 ; 1), B(5 ; 2 ; 3)\) và vuông góc với mặt phẳng \((\beta)\):  \(2x - y + z - 7 = 0\). 

Hướng dẫn giải

+) Mặt phẳng \( (\alpha)  \bot  (\beta)\) thì: \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  \bot \overrightarrow {{n_\beta }} .\)

+) Mặt phẳng \( (\alpha)\) đi qua hai điểm \(A,\, \, B\) thì: \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  \bot \overrightarrow {{AB }} .\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left[ {\overrightarrow {{n_\beta }} ,\;\overrightarrow {AB} } \right].\)

+) Sử dụng công thức lập phương trình mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua \(M(x_0;\, \, y_0;\,\, z_0)\) và có VTPT  \(\overrightarrow n  = \left( {a;\;b;\;c} \right)\) có dạng:  \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0.\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = \left( {2; - 1;\;1} \right);\;\;\overrightarrow {AB}  = \left( {4;\;2;\;2} \right).\)

Theo đề bài ta có: \( (\alpha)  \bot  (\beta) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }}  \bot \overrightarrow {{n_\beta }} .\)

Mặt phẳng \( (\alpha)\) đi qua hai điểm \(A,\, \, B\) thì: \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  \bot \overrightarrow {{AB }} .\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left[ {\overrightarrow {{n_\beta }} ,\;\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\2&2\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\2&4\end{array}} \right|;\;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\4&2\end{array}} \right|} \right) \\= \left( { - 4;0;\;8} \right) = - 4\left( {1;\;0;\;-2} \right). \)

Mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua \(A(1;\, 0;\,1)\) và nhận vecto \( \overrightarrow {{n_\alpha }} =\left( {1;\;0;\;-2} \right)\) làm VTPT có phương trình:  \(x-1-2(z-1)=0 \)

\(\Leftrightarrow x-2z+1=0.\)