Bài 3 trang 80 SGK Hình học 12

Đề bài

a) Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ \((Oxy), (Oyz), (Ozx)\).

b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm \(M(2 ; 6 ; -3)\) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua \(M(x_0;\, \, y_0;\,\, z_0)\) và có VTPT  \(\overrightarrow n  = \left( {a;\;b;\;c} \right)\) có dạng:  \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0.\)

b) Cho hai mặt phẳng: \(\left( P \right)//\left( Q \right)\) thì \(\overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {{n_Q}} .\)

Sau đó dựa vào công thức để lập phương trình mặt phẳng cần lập.

Lời giải chi tiết

a) Mặt phẳng \((Oxy)\) qua điểm \(O(0 ; 0 ; 0)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{k}(0 ; 0 ; 1)\)  và là vectơ chỉ phương của trục \(Oz\). Phương trình mặt phẳng \((Oxy)\) có dạng:

\( 0.(x - 0) +0.(y - 0) +1.(z - 0) = 0\) hay \(z = 0\).

Tương tự phương trình mặt phẳng \((Oyz)\) là : \(x = 0\) và phương trình mặt phẳng \((Ozx)\) là: \(y = 0\).

b) Mặt phẳng \((P)\) qua điểm \(M(2; 6; -3)\) song song với mặt phẳng \(Oxy\) nhận \(\overrightarrow{k}(0 ; 0 ; 1)\) làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng \((P)\) có dạng: \(z +3 = 0\).

Tương tự mặt phẳng \((Q)\) qua \(M\) và song song với mặt phẳng \(Oyz\) có phương trình \(x - 2 = 0\).

Mặt phẳng qua \(M\) song song với mặt phẳng \(Oxz\) có phương trình \(y - 6 = 0\).