Bài 6 trang 18 SGK Giải tích 12

Đề bài

Xác định giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y=\frac{x^{2}+mx+1}{x+m}\) đạt cực đại tại \(x = 2\).

Hướng dẫn giải

- Sử dụng điều kiện cần để \(x_0\) được gọi la điểm cực trị của hàm số \(y=f\left(x\right): f'\left({x_0}\right)=0\Rightarrow\) các giá trị của \(m\).

- Với các giá trị của \(m\) vừa tìm được, thay vào hàm số ban đầu, sử dụng quy tắc I tìm cực trị của hàm số để tìm các điểm cực trị cua hàm số và đối chiếu với giả thiết.

Lời giải chi tiết

Tập xác định : \(D=\mathbb{R}\setminus \left \{ -m \right \};\) 

Ta có:

\(\begin{array}{l}y' = \frac{{\left( {2x + m} \right)\left( {x + m} \right) - {x^2} - mx - 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\\y' = \frac{{2{x^2} + 2mx + mx + {m^2} - {x^2} - mx - 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\\y' = \frac{{{x^2} + 2mx + {m^2} - 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\end{array}\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\Rightarrow y'(2) = 0\) \(⇔ {m^{2}} + {\rm{ }}4m{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)\( ⇔ m=-1\) hoặc \(m=-3\)

- Với \(m = -1\),  ta có : \(y=\frac{x^{2}-x+1}{x-1};\)

TXĐ: \(R\backslash \left\{ 1 \right\}\)

\(y'=\frac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}; y'=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^{2} -2x=0& \\ x\neq 1 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=2\).

Ta có bảng biến thiên :

Trường hợp này ta thấy hàm số không đạt cực đại tại \(x = 2\).

- Với \(m = -3\), ta có: \(y=\frac{x^{2}-3x+1}{x-3};\)

TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ 3 \right\}\)

\(y' = \frac{{{x^2} - 6x + 8}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}};\,\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 2\\x = 4\end{array} \right.\)

Ta có bảng biến thiên :

Trường hợp này ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\).

Vậy \(m = -3\) là giá trị cần tìm.