Bài 2 trang 18 SGK Giải tích 12

Đề bài

Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

      a) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^4} - {\rm{ }}2{x^2} + {\rm{ }}1\) ;       b) \( y = sin2x – x\);

      c) \(y = sinx + cosx\);         d) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^5}-{\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1\).

Hướng dẫn giải

Quy tắc II tìm cực trị của hàm số.

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính \(f'\left( x \right)\). Giải phương trình \(f'\left( x \right) =0\) và kí hiệu  là các nghiệm của nó.

Bước 3: Tính \(f''\left( x \right)\) và \(f''\left( {{x_i}} \right)\).

Bước 4: Dựa vào dấu của \(f''\left( {{x_i}} \right)\) suy ra tính chất cực trị của điểm x_i.

Lời giải chi tiết

a) TXĐ: D = R.

\(y'{\rm{ }} = 4{x^3}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} = {\rm{ }}4x({x^2} - {\rm{ }}1)\) ;

\(y' = 0\) \(⇔ 4x(\)\(x^2\)\( - 1) = 0 ⇔ x = 0, x = \pm 1\).

\( y'' = 12x^2-4\).

\(y''(0) = -4 < 0\) nên hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\),

\(y\)_CĐ  = \( y(0) = 1\).

\(y''(\pm 1) = 8 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \pm1\),

\(y\)_CT  =  \(y(\pm1)\) = 0.

b) TXĐ: D = R.

\(y' = 2cos2x - 1\) ;
\(y'=0\Leftrightarrow cos2x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi\)

\(\Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi .\)

 \(y'' = -4sin2x\) .

 \(y''\left ( \frac{\pi }{6} +k\pi \right )=-4sin\left ( \frac{\pi }{3} +k2\pi \right )=-2\sqrt{3}<0\) nên hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x = \frac{\pi }{6}+ kπ\),

\(y\)_CĐ  = \( sin(\frac{\pi }{3}+ k2π) - \frac{\pi }{6} - kπ\) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi }{6}- kπ\) , \(k ∈\mathbb Z\).

\(y''\left ( -\frac{\pi }{6} +k\pi \right )=-4sin\left (- \frac{\pi }{3} +k2\pi \right )=2\sqrt{3}>0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x =-\frac{\pi }{6}+ kπ\),

\(y\)_CT = \(sin(-\frac{\pi }{3}+ k2π) + \frac{\pi }{6} - kπ\) =\(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi }{6} - kπ\) , \(k ∈\mathbb Z\).

c) TXĐ: D = R.

\(y = sinx + cosx = \sqrt{2}sin\left (x+\frac{\pi }{4} \right )\);          

\( y' =\sqrt{2}cos\left (x+\frac{\pi }{4} \right )\) ;

 \(y'=0\Leftrightarrow cos\left (x+\frac{\pi }{4} \right )=0\Leftrightarrow\)\(x+\frac{\pi }{4} =\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi .\)

\(y''=-\sqrt{2}sin\left ( x+\frac{\pi }{4} \right ).\) 

\(y''\left ( \frac{\pi }{4} +k\pi \right )=-\sqrt{2}sin\left ( \frac{\pi }{4}+k\pi +\frac{\pi }{4} \right )\)

\(=-\sqrt{2}sin\left ( \frac{\pi }{2} +k\pi \right )\)

\(=\left\{ \matrix{
- \sqrt 2 \text{ nếu k chẵn} \hfill \cr
\sqrt 2 \text{ nếu k lẻ} \hfill \cr} \right.\)

Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x=\frac{\pi }{4}+k2\pi\),

đạt cực tiểu tại các điểm \(x=\frac{\pi }{4}+(2k+1)\pi (k\in \mathbb{Z}).\)

d) TXĐ: D = R.

\(y'{\rm{ }} = {\rm{ }}5{x^4} - {\rm{ }}3{x^2} - {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}({x^2} - {\rm{ }}1)(5{x^2} + {\rm{ }}2)\); \(y'{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {x^{2}} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} =  \pm 1\).

\(y''{\rm{ }} = {\rm{ }}20{x^{3}} - {\rm{ }}6x\).

\(y''(1) = 14 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\),

\(y\)_CT = \( y(1) = -1\).

\(y''(-1) = -14 < 0\) hàm số đạt cực đại tại \(x = -1\),

\(y\)_CĐ = \(y(-1) = 3\).