Bài 3 trang 18 SGK Giải tích 12

Đề bài

Chứng minh rằng hàm số \(y=\sqrt{\left | x \right |}\) không có đạo hàm tại \(x = 0\) nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.

Hướng dẫn giải

*) Để chứng minh hàm số không có đạo hàm tại điểm \(x=0\) ta sử dụng cách tính đạo hàm tại một điểm bằng định nghĩa:

\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) (nếu tồn tại giới hạn).

*) Để chứng minh hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\) ta sử dụng định nghĩa cực trị:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) (có thể a là \( - \infty \) và b là \( + \infty \)) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).

a) Nếu tồn tại số \(h>0\) sao cho \(f\left( x \right) < f\left( {{x_0}} \right)\) với mọi \(x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì ta nói hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực đại  tại \({x_0}\).

b) Nếu tồn tại số \(h>0\) sao cho \(f\left( x \right) > f\left( {{x_0}} \right)\) với mọi \(x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì ta nói hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực tiểu  tại \({x_0}\).

Lời giải chi tiết

*) Chứng minh hàm số không có đạo hàm tại điểm \(x=0\):

\(\begin{array}{l}y = f\left( x \right) = \sqrt {\left| x \right|} = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x \,\,khi\,\,x \ge 0\\\sqrt { - x} \,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt x }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt x }} = + \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt { - x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt { - x} }}{{ - {{\left( {\sqrt { - x} } \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - 1}}{{\sqrt { - x} }} = - \infty \\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}
\end{array}\)

\(\Rightarrow\) Không tồn tại đạo hàm của hàm số đã cho tại \(x = 0\).

*) Chứng minh hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\) :

Với \(h>0\) là một số thực bất kì ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \sqrt {\left| x \right|} \ge 0\,\,\forall x \in \left( { - h;h} \right)\\f\left( 0 \right) = 0\\\Rightarrow f\left( x \right) \ge f\left( 0 \right)\,\,\,\forall x \in \left( { - h;h} \right)\end{array}\)

Theo định nghĩa điểm cực trị của hàm số ta kết luận \(x=0\) là điểm cực tiểu của hàm số \(y = f\left( x \right) = \sqrt {\left| x \right|} \).