Bài 1 trang 18 SGK Giải tích 12

Đề bài

Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau :

 a) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}2{x^{3}} + {\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}36x{\rm{ }}-{\rm{ }}10\) ;                            

b) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}x{^4} + {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}3\) ;

c) \(y = x + {1 \over x}\)                                                 

d) \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}{\left( {1{\rm{ }}-{\rm{ }}x} \right)^{2}}\);

 e) \(y = \sqrt {{x^2} - x + 1}\)

Hướng dẫn giải

Quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số:

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính \(f'\left( x \right)\). Tìm các điểm mà tại đó \(f'\left( x \right)\) bằng 0 hoặc \(f'\left( x \right)\) không xác định.

Bước 3: Lập bảng biến thiên.

Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: \(D = \mathbb R\)

\(\eqalign{
& y' = 6{{\rm{x}}^2} + 6{\rm{x}} - 36;y' = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2\Rightarrow {y = - 54}  \hfill \cr
x = - 3 \Rightarrow  {y = 71} \hfill \cr} \right. \cr} \) 

\(\begin{array}{l}y' < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - 3;2} \right)\\y' > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\end{array}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty \)

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại \(x = -3\) và  \(y\)_CĐ \(= 71\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\) và \(y\)_CT \(= -54\)

b) Tập xác định: \(D =\mathbb R\)

\(y' = 4{{\rm{x}}^3} + 4{\rm{x}} = 4{\rm{x}}\left( {{x^2} + 1} \right)\);

\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\Rightarrow {y =  - 3}\)

\(\begin{array}{l}y' > 0 \Rightarrow x > 0\\y' < 0 \Rightarrow x < 0\end{array}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty \)

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\) và \(y\)_CT \(= -3\)

c) Tập xác định: \(D = \mathbb R\)\ { 0 }

\(\eqalign{
& y' = 1 - {1 \over {{x^2}}} = {{{x^2} - 1} \over {{x^2}}};y' = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \Rightarrow {y = 2}  \hfill \cr
x = - 1 \Rightarrow {y = - 2}  \hfill \cr} \right. \cr}\)

\(\begin{array}{l}y' < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - 1;1} \right)\\y' > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\end{array}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y =  - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y =  + \infty \)

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại tại \(x = -1\), \(y\)_CĐ \(= -2\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\), \(y\)_CT  \(= 2\)

d) Tập xác định \(D = \mathbb R\)

\( y' = 3{{\rm{x}}^2}{\left( {1 - x} \right)^2} - 2{{\rm{x}}^3}\left( {1 - x} \right) \)

     \(= {x^2}\left( {1 - x} \right)\left( {3 - 5{\rm{x}}} \right)\)

\(\eqalign{
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1\Rightarrow {y = 0}  \hfill \cr
x = {3 \over 5}\Rightarrow  {y = {{108} \over {3125}}}  \hfill \cr
x = 0 \hfill \cr} \right. \cr} \) 

\(\begin{array}{l}y' < 0 \Leftrightarrow x \in \left( {\frac{3}{5};1} \right)\\y' > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;\frac{3}{5}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty } y = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \end{array}\)

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại \(x = {3 \over 5};y = {{108} \over {3125}}\)  

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\), \(y\)_CT =\( 0\)

e) Vì  \(x^2\) –\( x + 1 > 0, ∀  ∈ \mathbb R\) nên tập xác định : \(D = \mathbb R\)

\(y' = {{2{\rm{x}} - 1} \over {2\sqrt {{x^2} - x + 1} }};y' = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 2}\Rightarrow {y = {{\sqrt 3 } \over 2}}\)

\(\begin{array}{l}y' > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2};\,\,y' < 0 \Leftrightarrow x < \frac{1}{2}\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \end{array}\)

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = {1 \over 2};{y_{CT}} = {{\sqrt 3 } \over 2}\)